贾增福
佛山市顺德区华侨中学 528333
摘要：在立体几何的教学中，通过翻折实验，让学生实际操作或是借助计算机软件进行实际探究，体会由平面到空间，由空间到平面的发展过程，从而更好的理解立体几何问题。本文重点探究了高考立体几何中的几个常见问题，翻折实验与立体几何中的位置关系的判断，翻折与立体几何中取值范围的计算，翻折与立体几何中的轨迹问题，翻折与立体几何中的探究性问题，翻折在高考立体几何中的体现与应用。
关键词：核心素养，翻折实验，平行垂直关系的判断，取值范围的计算，轨迹，高考中立体几何与翻折。
立体几何是高中的一个重要知识点，是高考必考内容之一。通过立体几何的教学，帮助学生逐步形成空间观念，体会由整体到局部、从具体到抽象的发展过程，并通过实物模型、实际操作或是计算机软件呈现空间几何体的结构特征，帮助学生更好的理解立体几何。同时在立体几何的教学中，可以充分培养学生的直观想象能力，通过直观想象感知空间图形的结构；在解决立体几何问题的过程中，又充分培养了学生的逻辑推理能力及数学运算能力，同时结合生活中的立体图形，培养学生的数学建模思想。立体几何的教学，是培养学生的核心素养，渗透数学文化，体现数学魅力的一个重要组成部分。
一．翻折与立体几何中的位置关系的判断
空间中点、线、面之间的位置关系的判断是立体几何中的一个重要知识点，也是学生由平面到空间，认识和体会立体几何的基础，通过一些简单的翻折实验，可以让学生更好的去理解立体几何中的点、线、面的位置关系。新课标人教社A版教材，在《直线与平面垂直的判定》一节的教学中，通过让学生动手探究，翻折三角形，从而得到了直线与平面垂直的判定定理，让学生在探究实验的过程中，更加形象直观的理解了直线与平面垂直的判定定理。而通过翻折，让学生去判断和理解立体几何中的位置关系，在我们的教材中也多有体现。简单举例1，如图1,在正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，点G是EF的中点，现在沿DE、DF及EF把这个正方形折成一个四面体，使A、B、C三点重合，重合后的点记为点A＇,则在四面体A＇—DEF中必有 （ ）
A． B.
C. D.
以上例题来源于新课标人教社A版的《平面与平面垂直的判定》一节的课后练习题，通过比较折叠前后图形中各量的变化情况，不难判断正确答案应该是A,此题也可以略作变式：设在平面AEF内的射影为，则的（ ）A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心。在教学中，可以让学生动手实践，在实践中直观感受立体图形的特征，从而进一步规范证明，写出证明过程。举例2，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿DE,DF折起，使A,C两点重合于点.
求证：.本例题来源于新课标人教社A版教材的课后
练习题，本题与举例1在本质上是一样的，都是正方形的折叠
问题，学生只要分清折叠前后哪些量发生了变化，哪些量
没有变，也很容易证明。举例3,如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF=∠BCE=90°，A、D分别是BF、CE上的点，AD∥BC，且AB=DE=2BC=2AF（如图1）．将四边形ADEF沿AD折起，连结BE、BF、CE（如图2）．在折起的过程中，下列说法中错误的是（ ）
A．AC∥平面BEF B．B、C、E、F四点不可能共面
C．若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD D．平面BCE与平面BEF可能垂直
这样的考题非常多，在日常的教学中，条件允许的情况下，可以让学生通过实际操作，直观体会和感受空间图形的特征，从而更好的将具体问题抽象化，符号化，从而完成规范化推理和证明的过程，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
二．翻折与立体几何中的轨迹问题
平面图形的翻折过程中，点从平面到空间的运动会形成一定的轨迹，而研究动点的轨迹问题，也是现在高考命题的趋势之一，以立体几何为载体，将立体几何与解析几何巧妙的结合在一起，在知识网络的交汇点设计试题，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
举例1.在矩形ABCD中，,E为线段DC上一动点，现将沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
本题以矩形翻折为背景，考查了立体几何中的垂直关系，同时也考查了学生对解析几何中动点的轨迹的理解。根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系，不难得出，翻折过程中，动点K在面内满足为翻折前矩形ABCD的顶点D),所以点K在以线段AD为直径的圆上，当E从D运动到C上，可得到K所成的轨迹长度为。在翻折过程中，学生要注意位置关系与长度等数量的变与不变，实现平面与空间的相互转化，从而解决问题。
三．翻折与立体几何中的取值范围及最值的计算
立体几何中的长度、角度、体积等有关量的取值范围及最值的计算，是高考中的重要考点之一，既考查学生平面和空间的相互转化能力，同时考查学生的计算及数据处理能力。平面图形的翻折实现了由平面到空间的变化，而立体图形的侧面展开则实现了由空间到平面的变化过程，在平面和空间的相互转化中，要抓住变与不变两个要素，在变化中找到解决问题的方法。
举例1，棱长分别为2,3,4的长方体的表面上有一只蚂蚁，从顶点A沿着长方体的表面爬到,则蚂蚁经过的最短距离是多少？这是立体几何中的一道常见题目，可以通过把长方体的侧面展开，化空间距离问题为平面距离问题，实现空间到平面的转化，在实际教学中，可以让学生动手操作，实物体会理解，并能在展开的基础之上进行翻折还原，深刻体会平面和空间的相互转化过程；再例如2017年高考理科数学新课标1卷的16题，如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D,E,F为圆O上的点，DBC，ECA，ECA，FAB，分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC,CA,AB为折痕折起ECA，ECA，FAB，使得点D,E,F重合，得到三棱锥。当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：）的最大值为____。
本题以平面图形的翻折为背景，考查了三棱锥体积的计算及利用导数求函数最值的方法，在日常的教学中，让学生多动手实践，深刻体会和把握立体图形的特征，理解立体几何和平面几何的关系。
四．翻折与立体几何中的探究性问题
以翻折为背景，探究空间几何体的性质，是立体几何考查的一种重要形式，解决此类问题的本质还是要抓住变与不变的量之间的关系，结合空间几何体的性质，解决问题。
举例1：如图，在矩形ABCD中，AD=，点E为边AB上，CEDE
且AE=1，将ADE沿DE翻折成SDE，记二面角A—DE—S的平面角为，当时，下列说法中正确的是（ ）
①存在某个位置，使;
②存在某个位置，使;
③任意两个位置，直线所成的角都不相等
A．① B. ①② C.①③ D.②③
解析：如图，将ADE沿AE翻折成SDE的过程中，点
S在底面的投影为线段AA＇，若存在某个位置，使CEDS，
则在线段AA＇上存在点P，使得CEDP，显然当点P位于
点O位置时，结论成立，故①正确；同理，若存在某个位置，
使DESC，则在线段AA＇上存在点P，使得DECP，显然②错误；对于③分析如下：
法一：向量法（坐标系），以O为原点，以OA，OD所在的直线分别为x,z轴，建立如图所示的坐标系，则D,
易知上单调，故③正确
法二：几何法，如图，点S再半圆弧AA＇上运动时，直线DE和直线SC所成的角转化为圆柱母线ST和直线SC所成的角CST，在RtSTC中，ST=OE=，在ETC中，ET=OA=，EC=，TEC=，由余弦定理知：
单调，故③正确
简单举例2：如图,矩形ABCD中,AB=2AD, E为边AB的中点,将ADE沿直线DE翻折成,若M为线段的中点,则在ADE翻折过程中,
下面四个命题中不正确的是( )
A.是定值
B.点M在某个球面上运动
C.存在某个位置,使
D.存在某个位置,使
结合折叠前后的量的变化情况，不难得出正确答案为C。以翻折为背景的探究性问题很多，题目比较灵活，在日常的教学中通过实践探究，渗透平面与空间的相互转化，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
五．以翻折为背景的高考立体几何真题
在历年高考数学中，以翻折为背景的高考试题经常出现，主要以平行四边形，矩形，三角形，直角梯形等常见图形进行翻折，进而研究空间几何体中的点、线、面之间的位置关系及空间中角的计算，在变与不变中，抓住问题的本质，实现空间与平面的相互转化，从而解决问题。
【2018年新课标1理数】如图，四边形为正方形，，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．
⑴证明：平面平面；
⑵求与平面所成角的正弦值．
【2016高考新课标2理数】如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点．将沿折到位置，．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值．
【2015高考陕西理数】如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．
（I）证明：平面；
（II）若平面平面，
求平面与平面夹角的余弦值．
【2013年广东高考理数】如图1,在等腰直角三角形中,,,分别是上的点,,为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.
(Ⅰ) 证明:平面; (Ⅱ) 求二面角的平面角的余弦值.
高考中，以翻折为背景的试题很多，只要抓住“变与不变”的量之间的关系，分清折叠前后的变化情况，体会由平面到空间，化空间为平面的相互转化过程，在转化中发现问题，解决问题，不断提高空间想象能力和逻辑推理能力。
本文主要以翻折为背景，探究了立体几何中的一些常见问题，抛砖引玉，希望能得到各位同行的批评指正，在今后的教学中不断学习，不断进步。
参考书目：
[1].普通高中数学课程标准（2017年版）.北京.人民教育出版社2018.2
[2].普通高中课程标准实验教科书数学2.广东.人民教育出版社2011.6
[3].历年高考数学真题