叶建勇
湖北省安陆第二高级中学
摘要：高中数学选修2-3中，介绍了三种典型分布。笔者通过已知分布特征，求其均值；求实际问题中特殊分布的均值；求实际问题中特殊分布的方差；求实际问题分布的方差。并用知识点结合例析的方式进行研究。
关键词：两点分布 二项分布 超几何分布 分布特征 均值 方差
在高中数学选修2~3中，介绍了三种典型分布。即两点分布。超几何分布和二项分布，在高考中以选填题的考察为主，但在实际问题的处理过程中也会出现解答题，笔者现以例析的方式谈谈它们的应用：
一、已知分布特征，求其均值
欲求教学期望，首先要得到分布 如果题中离散型随机变量符合两点分布。二项分布，超几何分布，可直接代入公式求得期望。常见的三种分布的均值，设p为一次试验中成功的概率，则①两点分布E（x）=P。②二项分布E（x）=np ③超几何分布E（x）=
例1：若随机变量X~B（100,0.1），则E（X）=
解析. X~B(100,0.1) E(x)=100×0.1=10
例2：若随机变量X服从n=2.M=3. N=6的超几何分布。则E（x）=
解析：由E（x）=nM/N知E（x）=2×3/6=1
二、求实际问题中特殊分布的均值
在实际问题中要分清两点分布与二项分布，它们的相同点是在一次试验中要么发生要么不发生，它们的不同点是：
a.随机变量的取值不同，两点分布中随机变量的取值为0.1，二项分布中随机变量的取值x=0，1，2……n.
b.它们试验次数不同，两点分布一般只有一次试验，二项分布则进行几次试验。在处理问题中先审清题意，确认分布类型，若是特殊分布，借助相应的均值公式求其均值。
例3：甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队三人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得
一分，答错得零分，假设甲队中每人答对的概率均为2/3，乙队中三人答对的概率分别为2/3、2/3、1/2，且各人回答的正确与否相互之间不影响，（1）若用ζ表示甲队的总得分，求的教学期望。
解析，由题得知ζ的可能取值分别为0，1,2,3则服从二项分布，不是两点分布。
即ζ~B（3，2/3 ） ∴ ζ的教学期望为E（ζ）=3×=2
例4：一个口袋内有n（n > 3）个大小相同的球，其中有3个红球和（n-3）个白 球，已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是3/5，不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球 个数ζ期望
解析：P=3/5 ∴3/n=3/5即n=5 5个球中有2个白球
即在含有2个白球的5个球中随机取出3个球，求取到白球的个数ζ的期望，它是超几何分布。且n=3，N=5，M=2，即E（ζ）=nM/N=3×2/6=6/5
三．求实际问题中特殊分布的方差
熟记三种常用分布的方差公式，① 两点分布的方差，若离教型随机变量X服从参数为P的两点分布，则D（x）=P（1-P）； ②二项分布的方差，若离教型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，即X~B（n，p），则D（x）=np（1-p） ③超几何分布，若离教型随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布。即X~H(n，M，N),则D（x）nM/N=（1-M/N）M-n/N-1，在求解过程中要注意期望与方差公式的联用，运用方程思想解决问题。
例5：已知ζ~B（n，p） E（ζ）=8， D（ζ）=1.6，则n与p的值分别为
解析：∵ζ~B（n，p） E（ζ）=8， D（ζ）=1.6
∴E（ζ）=np=8 D（ζ）=np（1-p）=1.6
即n=10，p=0.8
四．求实际问题分布的方差
由于两点分别，超几何分布，二项分布的方差已有现成的计算方式：所以在计算服从这些常用分布的随机变量的方差时，既可以利用定义进行计算。也可以代入它们的计算公式直接求解，很显然的一种方法不但计算量小，而且准确率高，但利用第二种方法的前提是必须判断出随机变量服从这些常用的分布。
例6：9粒种子分别种在三个坑内，每个坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若在一个坑内至少有一粒种子发芽，则这个坑不需要补种。若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑需要补种。假定每个坑至多补种一次，（1）求某个坑补种次数×数学期望与方差
（2）每件种一个坑需10元，用表示补种费用，求出的数学期望与分布。
解析：（1）某坑补种次数x=0.1.服从两点分布，均 E（x）=1/8 D（X）=7/64
（2）ζ=10ζ1 1 ~B（3，1/8）
E（ζ）=E（10ζ1）=10E（ζ1）=10×3×1/8=15/4
D（ζ）=D（10ζ1）=102 D（ζ1）=100×3×1/8×（1-1/8）=525/16
显然用定义代入比用公式繁杂
随机变量的教学期望和方差的计算在明确三种类型后，准确应用公式，问题就会迎刃而解。
参考文献：1.人教版高中数学课本选修2-3
2.中学教材全解选修2-3