圆锥曲线之焦点三角形相关问题探析

发表时间:2021/3/8   来源:《中小学教育》2020年17期   作者: 谢青秀
[导读] 圆锥曲线是高中重点学习以及考察的知识点之一
        谢青秀
        贵州省毕节市第一中学
        【摘要】圆锥曲线是高中重点学习以及考察的知识点之一,常年作为高考题的压轴大题和小题来考。对于学生来说是谈题色变的,很多学生拿到圆锥曲线部分的题目却是抓不到重点,往往无从下手。就此,在本文中笔者择圆锥曲线热门考点之——焦点三角形问题进行分析,对焦点三角形的几个常用性质进行分析推导,选取近年高考真题进行例题探析。
        【关键词】圆锥曲线;焦点三角形;例题探析
        【正文】
        前言说到圆锥曲线不得不提著名古希腊数学家阿波罗尼斯,在他的论著《圆锥曲线》中很全面而且独到的介绍了圆锥曲线的产生、基本性质以及相关结论。阿波罗尼斯提出圆锥曲线是由正圆锥割出的三种曲线,也即是椭圆、双曲线以及抛物线,在他的论著中分别称它们为亏曲线、超曲线和齐曲线[1]。欧几里得的著作《二次曲线》中也出现了对圆锥曲线的讨论,可以说圆锥曲线的产生和相关论著早在公元前300多年就出现了,它的出现不断的推动着数学这门学科的发展和进步。在历年的考题中,圆锥曲线作为常考不断的知识点也有一定的历史意义和价值,同时对于学生数学素养的培养具有潜移默化的作用。
        一、问题基础背景

       
        .
        在椭圆中结合椭圆的性质以及三角函数的相关结论,我们自然而然的推导出关于焦点三角形的一个简洁而有趣的结论,由性质(1)不难发现当已知焦点三角形的顶角时,该三角形面积即可快速求解出来,公式(3)的推导即是探索出焦点三角形的内角与离心率的关系,我们不禁感受到数学知识与知识之间交融的魅力所在。
        对于双曲线的情形来说,利用同样的思路即可推导出双曲线的相应性质。由于过程类似,笔者就不再详细推导。
        在双曲线中有以下性质:
      

       
        评注本题是2014年湖北省的高考题,纵观此题非常简洁给的信息不多,如何找到突破口,本题的关键词是焦点三角形,立即想到利用正余弦定理推出的焦点三角形性质即是本题的突破口。
        参考文献:
        [1]莫里斯?克莱因.古今数学思想(第一册)[M].上海:上海科学技术出版社,2014.75.
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