刘媙 颜家骐
湖南省邵阳市双清区中河街小学 422000
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培根说：“ 类比支配发明。”在我们人类漫长的历史长河中，一切的创造发明都有类比的身影。所以刻卜勒曾说过：“我越来越珍视类比，这是我最可靠的老师，它知道大自然的一切奥秘，在几何中，永远不应忽视它。”在教学苏教版六年级下册《圆柱的体积》时利用类比推理，引领学生成功地创造了柱体的体积计算公式，获得了类比推理的数学思想。
一、抓住联系，提出类比猜想。
课件出示长方体和正方体，并提问：它们的体积各是怎样计算的？还可以怎样计算？根据学生的回答出示如下：
V=abh V=a3
V=sh
师：为什么它们的体积V都等于sh?
生：因为ab=s，a2=s，所以V都等于sh。
师：除了这样来解释其中的道理外，你能结合它们体积公式的推导过程，用摆体积单位的方法来进行解释吗？
生：比如说一个长方体的底面积是20c㎡，高是5cm。那么每一层就可以摆20个1cm3的小正方体，摆这样的5层，总共摆了20x5=100个，所以体积是100cm3.
师：那正方体呢？
生：比如说正方体的底面积是25c㎡，高是5cm，那么每层就可以摆25个1cm3的小正方体，有5层，25×5=125个，就是125cm3。
师：知道了它们的底面积，就知道了每一层可以摆多少个体积单位，知道了高就知道了可以摆这样的几层，所以长方体和正方体的体积都可以用底面积乘高来进行计算。它们绝对有长得象的地方，它们到底哪些地方长得象呢？
根据学生的回答重点强调上下一样粗细、都可以看成是由一个平面图形，通过平移而得到。并课件动态演示长方体、正方体由一个长方形，正方形平移而得到的过程。
[思考：通过追问：为什么它们的体积公式都是V=sh呢？引发学生透过现象看本质，进行深度思考：它们的上下都是一样大小的，它们都可以看成是由一个平面图形通过平移而得到，它们体积计算都可以看成是每层体积单位的个数乘层数而得到的，为后面的抓住圆柱与长方体和正方体本质上的联系，提出类比猜想提供了强有力的类比对象。]
师：今天，我们学习圆柱的体积。请你仔细地观察圆柱和长方体、正方体，比一比，它们有什么共同的地方，猜猜圆柱的体积将怎样计算？
生：圆柱的上下也是一样大小的。由一个圆通过平移而得到。所以我猜想圆柱的体积V=sh
[思考：学生通过观察，比较，抽象找到共同点，抓住联系，进行联想类推，提出猜想。使类比猜想有序而有据。]
二、唤醒经验，确定验证方法
师：我们抓住共同点，类比推广提出了猜想，你能想个办法证明你的猜想是正确的吗？你会联想到曾经探究过的哪一个知识点？
生：圆面积的计算公式推导过程。
师：你怎么想到的？
生：因为圆柱是圆通过平移而得到的。他们之间有联系。
师：谁来说说圆面积的推导过程，也许从中你能得到某种启示。
学生口述、课件演示圆面积的推导过程：
师：从中你得到什么样的启示呢？
生：我们可以把这个圆柱体割成许许多多的小扇体，然后把它拼成一个长方体。
师：有创意，我们就照你的这个好办法，来割一割，拼一拼。从你的学具袋里拿出老师给你们准备好的圆柱体，我已经把它等分成了若干个小扇体，你去拼一拼，是不是能够拼成一个近似的长方体？
[思考：通过类比圆面积的推导得出圆柱体积的探究方法，使学生将探究平面图形的经验和方法类推到了空间图形。将立体图形与平面图形进行了有效关联。]
三、动手操作，推理得出结论。
在学生拼出近似长方体的基础上，课件演示等分成16等份、32等份、64等份分别拼成长方体的过程，并让学生闭眼想像当无限地等分下去之后，最后就能成为一个长方体。
师：把你拼成的这个形状，想象成无限的分割下去之后拼成的一个真正的长方体。找到这个长方体和原来圆柱的联系，推一推圆柱的体积将怎样计算？把你推导的过程象圆面积公式的推导过程一样，简单地记录下来，或许你能得到与猜想不一样的方法。
集体交流时，板书如下：
(1) V长= a b h (2) V长= a b h
ll ll ll ll ll ll ll ll
V圆柱=(c÷2) r h V圆柱=( c÷2) h r
（3） V长= S h (4 )V长= S h
ll ll ll ll ll ll
V圆柱= S侧÷2 r V圆柱= S h
在孩子们得出这4个公式之后，引导学生将前3个公式进行变形都归为第4个计算公式，证明猜想正确。
[思考：学生从不同的角度去观察思考得出计算公式，通过公式的变形，统一成一个计算公式V=Sh，培养了学生自主探究和发散思维的能力，感悟到数学追求统一而简洁的美。]
四、拓展推广，构建知识结构。
基本练习之后。引导学生探索：
师：我们抓住长方体和圆柱的共同点和联系，通过猜想、推理验证、得出猜想正确。你还可以用什么方法来验证圆柱的体积V=Sh呢？
引导学生通过举例用摆体积单位的方法来验证。
师：底面积告诉了我们每层可以摆多少个体积单位，高就告诉了我们摆了多少层，用每层的个数乘层数就等于圆柱的体积，所以圆柱的体积V=Sh。
师：这3个立体图形，他们的长相各不相同，v都等于sh，它们到底哪些地方长得象？
生：它们都是由一个平面图形通过平移而得到，上下都是一样大小的，每层摆的体积单位的个数一样多，所以v都等于sh。
师：我们还可以把什么平面图形通过平移得到立体图形呢？
生说并闭眼想像平移得到的图形，课件演示梯形，三角形、平行四边形等平移得到的立体图形。
师：得到的这些各种不同的立体图形，各不相同，有什么共同的地方？
学生口答。
师：它们都是由一个平面图形通过平移而得到，上下都是一样大小的，它们有一个共同的名字叫做柱体。像这些柱体的体积都可以怎样计算呢？为什么？
生：与前面3个图形一样，知道了底面积就知道了每层可以摆多少个体积单位，知道了高就知道了摆这样的几层，用每层的个数乘层数就等于体积，所以它们的体积v=sh。
师：根据长方体、正方体和圆柱的体积的计算方法，类比得出所有柱体的体积v=sh。
然后出示相关条件，让学生计算其他柱体的体积。
[思考：将所有的柱体通过面动成体而相互关联，通过类比推理，得出所有柱体的体积v=sh，构建了柱体体积的模型。获得了结构化的知识]
五、回顾反思，提炼思想方法。
师：回头看看，我们是怎样探究圆柱的体积的?
生说。
师：今天我们利用类比推广，创造出了圆柱的体积计算公式，更可贵的，继续类比推理，创造了所有柱体体积的计算公式。想想看，是谁指引了我们探索的道路和方法？
生：类比推理。
师：类比是一个伟大的引路人，所以刻卜勒说：“我越来越珍视类比，这是我最可靠的老师，它知道自然界的一切奥秘，在几何里，永远不应忽视它！"
师：在以后的学习中，请你们带上类比推理这个伟大的引路人，你会拥有不断的发现和创造。
[思考：通过回顾、梳理、提炼所用的数学思想方法——类比推理，感悟了类比推理的价值，获得了类比推理的数学思想方法，积累了数学探索的经验。]
课后反思：
本节课是在类比思想的引领下，通过类比思想这条暗线，串起所有知识点的探究，成功地实现了知识及探究方法的正迁移。
1.共性中类比，实现知识的正迁移。
能够进行类比的两类事物，必须具有共性或相似性。本教学案例通过追问长方体，正方体体积为什么等于底面积乘高？它们有什么长得像的地方？ 引导学生在观察、比较中找到他们的共性。并课件展示都可以看成是长方形或正方形通过平移而得到，突显他们的共性。再追问长方体、正方体的体积为什么可以用底面积乘高来进行计算？以抓住柱体体积计算的本质：每层体积单位的个数乘层数等于柱体的体积。再将圆柱与长方体、正方体进行类比，找到他们的共同点，都是可以由一个平面图形通过平移而得到，上下都是一样大小的，类比联想得出猜想：圆柱的体积等于底面积乘高。从而实现知识的正迁移。
2.相似中类比，实现方法的正迁移。
平面图形与立体图形有着密切的联系，因此，在研究方法上。有许多的相似之处。本教学案例，通过引导学生回顾圆面积计算公式的推导过程，从中得到启示：将圆柱割补成许许多多的小扇体，转化成长方体，然后找到转化后的长方体与原来的圆柱体之间的联系，根据长方体体积的计算公式推导出圆柱体积的计算公式。通过类推实现了研究方法的正迁移。积累了数学活动的经验。
3.共性中拓展，实现知识的结构化。
数学知识具有一定的结构性，同类的知识往往具有相同的结构。所有的柱体体积都等于底面积乘高这一模型化的结构知识。而且结构化的知识不容易忘记。本教学案例，在类比思想的引领下，学生主动找到所有柱体的共性，将圆柱体积的计算公式拓展到所有的柱体，帮助学生构建了柱体体积的一个整体结构，获得了结构化的知识体系。