“利用基本不等式求函数的最值”教学案例分析--中国期刊网

字体：大中小

首页> 原创作品> 正文

“利用基本不等式求函数的最值”教学案例分析

发表时间：2021/3/15 来源：《中小学教育》2021年3月2期作者：刘秋凤

[导读]

刘秋凤横县第二高级中学
中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2021）03-129-02

        新课标下的课堂教学，以学生为主体，教师是课堂教学的设计者、组织者、引导者. [1]课堂教学活动中教师作为组织者要根据学生已有的知识水平和学生在课堂中思维状态、参与状态决定课堂教学的进度、难度，做到“以学定教”，要精心设置问题，引导学生不断思考，激起学生思维的碰撞，让学生通过讨论思考主动发现问题，对所学知识真正理解掌握，提高课堂的效率，而不是一味的“满堂灌”。在学校的一轮复习中，听了一节“利用基本不等式求函数的最值”的复习课，引发了一些思考。
        1案例
        这是一节通过例题、变式练习和课堂练习三大环节来复习利用基本不等式求最值问题的复习课，目的是让学生熟练运用基本不等式求最值。
        2教学片段
        复习引入：
        师：这节课我们来复习利用基本不等式求函数的最值，
        教师板书：基本不等式：（a＞0,b＞0）当且仅当时等号成立
        师：利用基本不等式求如何求最值？下面我们来看例题：
        例题讲解：
        例1.若＞0，求的最小值
        师：由＞0＞0
        师：是否满足了基本不等式的条件？
        生：满足了
        师：那么就有≥2＝2
        师：那么最小值为多少？
        生：2
        师：解题过程如下：（多媒体演示）
        解：∵＞0   （一正）
        ∴＞0   （一正）
        ∴≥2＝2（二定）
        当仅当时即时有最小值为2.（三相等）
        师：下面我把这道变式一下：
        变式1：若＜0，求的最大值
        变式2：若＞3，求的最小值
        师：大家在下面独立完成
        生1板演解题过程：
        由＜0得＞0
        ∴＞0
        ∴+＝2
        ∴+
        ∴当且仅当＝时即时，取最大值为－2.
        师：为什么要由＜0得＞0？
        部分学生：应该是为了变为正数.
        师：对，为了变为两个正数＞0，＞0这样才能利用基本不等式求函数的最值，大家一定要注意。（给几分钟学生整理解题过程）
        师：下面我们来思考第2题
        生2：我是这样想的
        由＞3显然可得＞0
        显然是两正数的和，符合基本不等式条件，则有
        ≥但不是常数，无法求的最小值。
        师：怎么办呢？有没有同学找到解决的办法呢？
        生3：一个常数，把改为问题就解决.
        师：很好，下面大家写出解答过程。

期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆

（4分钟后教师用多媒体演示解题过程）
        例2.已知0＜＜1，求的最大值
        师：怎么求最大值？
        生4：可以考虑利用基本不等式来求
        生4板演解题过程：
        ∵0＜＜1
        ∴1-＞0
        ∴
        ∴当仅当时即时,有最大值为.
        师：很好
        小结：
        师：两道例题都是利用了基本不等式求最值，解题中要注意什么？
        众生：一正、二定、三相等[2]
        课堂练习：
        1.若＞0，＞0求的最小值.
        生5板书解题过程：
        ∵＞0，＞0
        ∴
        ∴当且仅当＝即a=b时，的最小值为2.
        师：生5的解题正确没有？
        生6：不完全正确
        师：还差些什么？
        生6：在∵＞0，＞0还应加上∴＞0，＞0
        师：“一正”不可缺
        2.求，的最值.
        生7板书解题过程：
        ∵＝2×2＝4
        ∴的最小值为4.
        师：我们再看看生7做得怎样？
        生8：生7没有考虑“一正、三相等”所以我觉得解题过程是有问题的，实际上是不成立的，所以无法取到最小值。
        （众生鼓掌）
        师：很好
        3.已知0＜＜，求的最大值.
        生9板书解题过程：
        ∵0＜＜
        ∴＞0
        ∴＝
        （生9没能往下做，无法求出最大值）
        师：问题出在哪呢？
        （没有学生马上回答,3分钟后一生说出自己的想法）
        生10：刚才生9无法求出最值是因为不是定值，如果变成一个定值即可求解，那么＝
        （掌声响起，学生整理解答过程）
        师生一起对一节课进行总结（略）。
        3听课后的一些思考与分析
        做得好的方面：（1）学生积极参与课堂教学，学生积极回答问题，大胆说出自己的解题方法，课堂气氛活跃，师生互动很好，体现了新课标下课堂教学以学生为主体，教师精心设计课堂教学、引导、组织学生开展探究学习活动，不是老师的“满堂灌”。（2）课堂上学生得到充分的思考，从例题到练习老师引导学生不断思考，老师没有包办问题的分析和解答而是在学生困惑时加以点拨、启发、引导学生主动探究解题方法。（3）采用了变式教学，老师通过变式引导学生从不同角度去思考问题，[3]真正做到举一反三，达到触类旁通，所以变式训练中，学生的思维得到激活，学习的效率大大提高。这节课由例1变式得到两道练习，激发学生不断思考，学生通过比较主动发现利用基本不等式求函数的最值要满足三个条件。（4）课堂中老师允许学生出错。三道课堂练习，三位同学板演的解题过程都出现了错误，学生的解题出现错误暴露了学生知识的漏洞，老师面对学生的错误没有直接指出错误的原因，而是给学生足够的思考时间分析出错的原因，让学生自己发现问题出在哪里。学生对于出现的错误有了深入的思考加深了对知识的理解，更好地避免再次出现同样的错误，学生的数学思维品质和解决问题的能力得到了提高。
        一些思考：（1）部分学生吃不饱，课堂中设计了两个例题，分别利用基本不等式求函数的最大值、最小值，例题的设计符合所授班级学生的知识水平。两道例题难度不是很大，学生在已有基础上能独立分析并写出解答过程。两道变式训练和三道课堂练习的难道也比较低，对于好学生来说，只课堂中只完成这样难度的题目是不够的，可以在课堂练习中尝试增加第
        4题：若正数a，b满足a+4b=1,求y=的最小值.[4]第5题：已知x+y=2xy, x＞0, y＞0 ，求x+y的最小值.[5]在例2后尝试增加一题：已知x＞0, y＞0，求（x+）（）的
        最小值。增加这两道题，可以让优等生能吃得饱，提高课堂效率。（2）少一些小组的讨论，许多不同的解题方法往往在学生经过讨论中发现的，而这节课学生小组的讨论相对少一些。如果在课堂教学中如果能给足时间让学生开展小组讨论，交流、分享不同的解法，通过比较不同的解法，优化自己的解法或许会更好。如变式2可以提问还有没有其他的方法？比如可以让学生尝试用换元法换元后再结合基本不等式求最值，学生就可以开展小组讨论。而例2和课堂练习第3题也可以学生思考有没有其他方法解决，比如可以让学生尝试利用二次函数求最值，这样通过多种解题方法的尝试，使学生掌握多种解法。（3）练习的设置有些欠缺，用基本不等式求最值为什么要满足三个条件才能求？这节复习课没有通过练习使学生真正理解明白。如能设置一些练习使学生因为没有理解条件原因而出现错误，比如可以设置积不是定值时求和的最值，然后利用学生的错误加以分析，充分说明条件不能缺，这样的课堂教学会收到更好的效果。
参考文献
[1]刘文增.新课程理念下的好课标准.科技创新导报.2013.18
[2]李荣来.浅谈“一正、二定、三相等”. 科学咨询.2015.32
[3]毛东良，在“平淡”中演绎精彩，中学数学月刊.2013.12
[4]蒋文化，利用基本不等式求最值教学实录与反思，中学数学月刊.2015.6
[5]陈雪玲，基于变易图式的“基本不等式”教学，中学数学研究.2017.6