喻滔
深圳市光明区高级中学 广东省 深圳市 518106
技巧一：弦长公式的“巧用”.
①
直线AB的方程为，与曲线联立后的一元二次方程为，所以直线与二次曲线相交的弦长公式又可以化为：
②
（一）对于公式①在直线弦长的运用.
例题1.已知椭圆C（a>b>0)的离心率为，直线：x+2y=4与椭圆有且只有一个交点T.
（I）求椭圆C的方程和点T的坐标；
（Ⅱ)O为坐标原点，与OT平行的直线与椭圆C交于不同的两点A，B，直线与直线交于点P，试判断是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由.
(1)
(2) 由第(1)知,设直线与直线：x+2y=4联立得
与直线椭圆联立得:
点评：该方法在求弦长的时候，巧妙运用了弦长公式，该弦长的一个端点在直线上，另一个端点在曲线上，大大简化了计算量.
（二）对于公式②在直线弦长的运用.
例题2. 设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.
（I）（）.
（Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，，.
由得.
过点且与垂直的直线：，到的距离为，
所以.故四边形的面积
.
可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.
当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.
综上，四边形面积的取值范围为.
点评：该方法在求弦长的时候，巧妙运用了简化后的弦长公式，绕开了韦达定理，大大简化了运算量.
技巧二：巧设直线方程
在直线与圆锥曲线联立的问题中，设直线的点斜式方程是最常用的一种手段，但具体在已知直线过点设方程的是时候，还是很有讲究.当给定的点不在坐标轴上，最好设直线的斜截式方程，计算完后再代点，可大大简化运算量.当给定的点在坐标轴上的时候，则选择直线的点斜式方程为多.
【2014年广东，理20，14分】已知椭圆的一个焦点为，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程．
解：（1），，，，椭圆的标准方程为：．
方法二：若一切线垂直轴，则另一切线垂直于轴，则这样的点共4个，它们的坐标分别为，．
若两切线不垂直与坐标轴，设切线方程为，将之代入椭圆方程得：
即 显然，这四点也满足以上方程，点的轨迹方程为 ．
点评：本题采用设直线的斜截式方程，大大简化了计算量.若果才用设直线的点斜式方程，则计算量和计算难度会繁琐很多.
技巧三： 巧用平面几何性质
已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
【解析】 设OE的中点为N，如图，因为MF∥OE，所以有＝，＝.又因为OE＝2ON，所以有＝·，解得e＝＝，故选A．
【答案】 A
此题也可以用解析法解决，但有一定的计算量，巧用三角形的相似比可简化计算．
技巧四：设而不求，整体代换
对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用“点差法”求解．
已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为M(1，－1)，则E的标准方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
【解析】 通解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，
①－②得＋＝0，
所以kAB＝＝－＝.
又kAB＝＝，所以＝.
又9＝c2＝a2－b2，解得b2＝9，a2＝18，
所以椭圆E的标准方程为＋＝1.
优解：由kAB·kOM＝－得，×＝－得，a2＝2b2，
又a2－b2＝9，所以a2＝18，b2＝9，
所以椭圆E的标准方程为＋＝1.
【答案】 D
本题设出A，B两点的坐标，却不求出A，B两点的坐标，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．
技巧五 巧妙“换元”减少运算量
变量换元的关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而将非标准型问题转化为标准型问题，将复杂问题简单化．变量换元法常用于求解复合函数的值域、三角函数的化简或求值等问题．
如图，已知椭圆C的离心率为，点A，B，F分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且S△ABF＝1－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线l：y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝1相切，若直线l与椭圆C交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．
【解】 (1)由已知椭圆的焦点在x轴上，设其方程为＋＝1(a＞b＞0)，则A(a，0)，B(0，b)，F(c，0)(c＝)．
由已知可得e2＝＝，所以a2＝4b2，
即a＝2b，可得c＝b①.
S△AFB＝×|AF|×|OB|＝(a－c)b＝1－②.
将①代入②，得(2b－b)b＝1－，解得b＝1，故a＝2，c＝.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)圆O的圆心为坐标原点，半径r＝1，由直线l：y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝1相切，得＝1，故有m2＝1＋k2③.
由消去y，
得x2＋2kmx＋m2－1＝0.
由题可知k≠0，即(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，
所以Δ＝16(4k2－m2＋1)＝48k2＞0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.所以|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－4×＝④.
将③代入④中，得|x1－x2|2＝，
故|x1－x2|＝.所以|MN|＝|x1－x2|＝×＝.
故△OMN的面积S＝|MN|×1＝××1＝.
令t＝4k2＋1，则t≥1，k2＝，代入上式，得
S＝2＝
＝＝
＝＝，
所以当t＝3，即4k2＋1＝3，解得k＝±时，S取得最大值，且最大值为×＝1.
破解此类题的关键：一是利用已知条件，建立关于参数的方程，解方程，求出参数的值，二是通过变量换元法将所给函数转化为值域容易确定的另一函数，求得其值域，从而求得原函数的值域，形如y＝ax＋b±(a，b，c，d均为常数，且ac≠0)的函数常用此法求解，但在换元时一定要注意新元的取值范围，以保证等价转化，这样目标函数的值域才不会发生变化．