喻滔
深圳市光明区高级中学 广东省 深圳市 518106
技巧一:弦长公式的“巧用”.
①
直线AB的方程为,与曲线联立后的一元二次方程为,所以直线与二次曲线相交的弦长公式又可以化为:
②
(一)对于公式①在直线弦长的运用.
例题1.已知椭圆C(a>b>0)的离心率为,直线:x+2y=4与椭圆有且只有一个交点T.
(I)求椭圆C的方程和点T的坐标;
(Ⅱ)O为坐标原点,与OT平行的直线与椭圆C交于不同的两点A,B,直线与直线交于点P,试判断是否为定值,若是请求出定值,若不是请说明理由.
(1)
(2) 由第(1)知,设直线与直线:x+2y=4联立得
与直线椭圆联立得:
点评:该方法在求弦长的时候,巧妙运用了弦长公式,该弦长的一个端点在直线上,另一个端点在曲线上,大大简化了计算量.
(二)对于公式②在直线弦长的运用.
例题2. 设圆的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
(I)证明为定值,并写出点E的轨迹方程;
(II)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.
(I)().
(Ⅱ)当与轴不垂直时,设的方程为,,.
由得.
过点且与垂直的直线:,到的距离为,
所以.故四边形的面积
.
可得当与轴不垂直时,四边形面积的取值范围为.
当与轴垂直时,其方程为,,,四边形的面积为12.
综上,四边形面积的取值范围为.
点评:该方法在求弦长的时候,巧妙运用了简化后的弦长公式,绕开了韦达定理,大大简化了运算量.
技巧二:巧设直线方程
在直线与圆锥曲线联立的问题中,设直线的点斜式方程是最常用的一种手段,但具体在已知直线过点设方程的是时候,还是很有讲究.当给定的点不在坐标轴上,最好设直线的斜截式方程,计算完后再代点,可大大简化运算量.当给定的点在坐标轴上的时候,则选择直线的点斜式方程为多.
【2014年广东,理20,14分】已知椭圆的一个焦点为,离心率为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若动点为椭圆外一点,且点到椭圆的两条切线相互垂直,求点的轨迹方程.
解:(1),,,,椭圆的标准方程为:.
方法二:若一切线垂直轴,则另一切线垂直于轴,则这样的点共4个,它们的坐标分别为,.
若两切线不垂直与坐标轴,设切线方程为,将之代入椭圆方程得:
即 显然,这四点也满足以上方程,点的轨迹方程为 .
点评:本题采用设直线的斜截式方程,大大简化了计算量.若果才用设直线的点斜式方程,则计算量和计算难度会繁琐很多.
技巧三: 巧用平面几何性质
已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 设OE的中点为N,如图,因为MF∥OE,所以有=,=.又因为OE=2ON,所以有=·,解得e==,故选A.
【答案】 A
此题也可以用解析法解决,但有一定的计算量,巧用三角形的相似比可简化计算.
技巧四:设而不求,整体代换
对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题,涉及求中点弦所在直线的方程,或弦的中点的轨迹方程的问题时,常常可以用“点差法”求解.
已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为M(1,-1),则E的标准方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
【解析】 通解:设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=2,y1+y2=-2,
①-②得+=0,
所以kAB==-=.
又kAB==,所以=.
又9=c2=a2-b2,解得b2=9,a2=18,
所以椭圆E的标准方程为+=1.
优解:由kAB·kOM=-得,×=-得,a2=2b2,
又a2-b2=9,所以a2=18,b2=9,
所以椭圆E的标准方程为+=1.
【答案】 D
本题设出A,B两点的坐标,却不求出A,B两点的坐标,巧妙地表达出直线AB的斜率,通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系,从而快速解决问题.
技巧五 巧妙“换元”减少运算量
变量换元的关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而将非标准型问题转化为标准型问题,将复杂问题简单化.变量换元法常用于求解复合函数的值域、三角函数的化简或求值等问题.
如图,已知椭圆C的离心率为,点A,B,F分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点,且S△ABF=1-.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知直线l:y=kx+m与圆O:x2+y2=1相切,若直线l与椭圆C交于M,N两点,求△OMN面积的最大值.
【解】 (1)由已知椭圆的焦点在x轴上,设其方程为+=1(a>b>0),则A(a,0),B(0,b),F(c,0)(c=).
由已知可得e2==,所以a2=4b2,
即a=2b,可得c=b①.
S△AFB=×|AF|×|OB|=(a-c)b=1-②.
将①代入②,得(2b-b)b=1-,解得b=1,故a=2,c=.所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)圆O的圆心为坐标原点,半径r=1,由直线l:y=kx+m与圆O:x2+y2=1相切,得=1,故有m2=1+k2③.
由消去y,
得x2+2kmx+m2-1=0.
由题可知k≠0,即(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,
所以Δ=16(4k2-m2+1)=48k2>0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.所以|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=-4×=④.
将③代入④中,得|x1-x2|2=,
故|x1-x2|=.所以|MN|=|x1-x2|=×=.
故△OMN的面积S=|MN|×1=××1=.
令t=4k2+1,则t≥1,k2=,代入上式,得
S=2=
==
==,
所以当t=3,即4k2+1=3,解得k=±时,S取得最大值,且最大值为×=1.
破解此类题的关键:一是利用已知条件,建立关于参数的方程,解方程,求出参数的值,二是通过变量换元法将所给函数转化为值域容易确定的另一函数,求得其值域,从而求得原函数的值域,形如y=ax+b±(a,b,c,d均为常数,且ac≠0)的函数常用此法求解,但在换元时一定要注意新元的取值范围,以保证等价转化,这样目标函数的值域才不会发生变化.