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浅谈数形结合思想在数学教学中的有效渗透

发表时间：2021/3/16 来源：2021年1月作者：陈敏

[导读]

陈敏新疆乌鲁木齐市第十三小学
中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1003-7667 （2021）01-075-02

       数形结合就是建立在数形优势互补的基础上，抓住数与形之间本质上的联系，以“形”直观的表达数，以“数”精确的研究形的思想方法。其实质就是将抽象的数量关系与直观的图形结构结合起来进行考虑，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐的结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路的一种思想。数形结合思想是数学中最重要、最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”。利用数形结合能使“数”和“形”统一起来。以形助数、以数辅形，可以使许多数学问题变得简易化。那么如何在教学中有效渗透数形结合的思想，结合平时教学实践谈一些粗浅的认识。
       一、以形助数，将抽象变为直观。
       1．助于把握概念本质
       数的产生源于对具体物体的计数。我们不难发现从数的概念的建立到数的运算处处蕴涵着数形结合的思想。
       学习整数、分数、小数及其加、减、乘、除法的运算时，教材都是借助直观的几何图形来帮助学生理解抽象的概念。生动形象的图形使得抽象的知识变得趣味化、直观化，让学生在学习时，不再感到枯燥乏味，反而能够使学生从中获得有趣的情感体验，让学生主动去探索，把握概念本质。
       例如：在学习“千以内数的认识”一课时，教师可以利用几何模型直观地将计数单位及其相互间的“十进制关系”呈现出来。用一个立体方格表示1，10个一就是十（即十个立体方格），以此类推，将数字的认识以这种学生感兴趣的方式呈现出来，结合立方体的变化，直观地认识了计数单位“个”“十”“百”“千”“万”，知道10个十是一百，10个一百是一千。理解了它们之间的十进制关系，这种变抽象为直观，数形结合的策略，更能让学生掌握概念本质，并在学生的头脑中留下了计数单位的直观现象，为数的大小比较、数的计算留下了初步的基础。
       2 ．数形结合有助于化解学习难点
       把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，引导学生在学习中了解认识、感悟运用数形结合的思想来解决问题，可化难为易，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，更能促进学生的可持续发展。
       例如：用画图来解决问题
       一年级一班的同学排队去做操，到操场排成4行15列，小明站在第二行左起第6个。在这一行，站在她右面的有多少名同学？
       要解决这道问题对于一年级的小学生来说是比较困难的，如果我们借助小学生在做操时已有的队列经验，画出做操时的队列简图就能化繁为简、变抽象为直观有效帮助学生解决问题。如图：
       学生就能很直观的看出小明的右边有：15－6=9（名）同学。
       伴随着问题的解决，学生就会自觉地把这种解决问题的方法内化，并在以后将数形结合解决问题。
       3．数形结合助于理解数量关系
       在数学教学中，培养学生解决问题的能力，使学生能把复杂的问题简单化，把抽象的问题形象化，是提高学生能力的重要步骤。数形结合使抽象化的数量关系形象化，为学生实际问题的计算与算式之间、分析数量关系与解决问题之间架起一座桥梁。

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       例如：“植树问题”教学中模拟植树，得出线上植树的三种情况。用 “___”代表一段路，用“ / ”代表一棵树，画“ / ”就表示种了一棵树。请在这段路上种上四棵树，想想、做做，你能有几种种法？学生操作，独立完成后，在小组里交流说说你是怎么种的？反馈，实物投影学生摆的情况。根据学生的反馈相应地把三种情况都贴于黑板：① \___\___\___\两端都种② \___\___\___\___ 或 ___\___\___\___\ 一端栽种③ ___\___\___\___\___两端都不种师生共同小结得出：两端都种：棵数＝段数＋1；一端栽种：棵数=段数；两端都不种：棵数=段数—1。以上教学中利用线段图帮助学生学习。让学生有可以凭借的工具，借助数形结合将文字信息与实际问题整合，使得学生思维发展有了凭借，也使得数学学习的思想方法真正得以渗透。
       二、以形辅数，拓展思维。
       1.以形思数，有直观形象优势。
       只有以简洁的数学描述、形式化的模型表达形的特点，才能更好地体现数学抽象化与形式的魅力，使学生更准确地把握形的特点。比如说图形特点，对几何图形性质的判断有时需要通过计算才能获得正确结论。如：周长相等的正三角形、正方形、长方形和圆形哪个面积大，哪个面积小？凭直观难以判断，而通过具体计算，或通过字母公式的推导可得知在周长相等的情况下圆形的面积最大依次是正方形、长方形、三角形。
       又如：用一根20厘米长的铁丝围一个长方形，可以围成怎样的长方形？有多少种围法？什么情况下面积最大？（长、宽取整厘米数）
       如何理解这道题目？（这里的20厘米就是将要围成的长方形的周长，也就是说不管怎么围，周长都是20厘米，一条长和宽的和是周长的一半。）
       方法：学生可以在方格纸上将想法先画一画，在表中记下每次探究的结果。下图是其中一个学生的数据。
       得出：周长一定时，长方形长与宽相差越小（大），面积越大（小）；围成的正方形面积最大。
       2.以形思数，帮助理解数学性质。
       解题思路的获得常用“形”来帮助，借助图形解题的最大优势是将抽象问题形象化。例如：在学习“长方形和正方形的周长”内容后，有这么一道题：把两个边长为5厘米的正方形拼成一个长方形，拼成的长方形周长是多少厘米？不出所料，有些学生脱口而出“40厘米”，再问问那些没回答的学生，虽然感到有一点疑问，但又说不出究竟在哪儿？的确，刚进入三年级的学生光凭想象要回答这个问题，确实是存在一定困难的。看到学生陷入了困惑状态，我轻轻提醒一句：你把图画出来看一看呢？学生一下子兴奋起来，纷纷动笔，不一会，只听见下面有人叫：“不是40厘米！”“不是40厘米！”……响应的学生越来越多。有的学生急不可待的举着画好的图，是30厘米！30厘米！刚才的疑问也在动笔画的过程中解决了。学生还根据画好的图，很容易想出了不同的解题方法：
       （1）5×6=30（厘米）
       （2）5×4×2－5×2=30（厘米）
       （3）5×2=10（厘米）（10＋5）×2=30（厘米）
       要求拼、割、组合图形的周长，重点是要弄清周长由哪几条边构成。通过简单的草图，将学生的空间想象和图形的直观形象相结合，不失为一种简洁、有效的学习方法。
       数形结合是一种重要的数学思想，但是在实际教学中我们也要注意不可片面的夸大数或形的作用，几何是研究空间形式的科学，培养观察和知觉能力；代数是研究数量关系的科学，培养逻辑能力、符号运算能力的，我们要从整体上把握，使二者相辅相成，要有意识地培养学生见数思形、见形思数、数形结合的意识。总之，数形结合天地宽。我们只要做教学的有心人，深入研究教材，从数学发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，把数形结合思想方法教学落到实处，让学生学会用数学的方法思考问题。