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亲历探究过程积累活动经验 ——《多边形的内角和》教学实践与思考

发表时间：2021/3/17 来源：《创新人才教育》2021年6月作者：谢小庆

[导读]

江苏省常州市勤业小学谢小庆

        【教学内容】
        苏教版四年级下册第96-97页《多边形的内角和》。
        【课前思考】
        《多边形的内角和》是在三角形内角和知识基础上的拓广和发展，仔细研读教材，教材的设计意图是先通过观察、操作等具体的活动，使学生探究四边形内角和，从而感知将多边形内角和问题转变为三角形内角和问题的学习过程，利用多边形内角和分成三角形内角和的方法探究五、六边形以及多边形，通过填表、观察发现多边形的内角和与它的边数之间的关系，获得计算多边形内角和的一般方法，体会三角形内角和以及相关数学方法的价值。
        学生是在学会用量和拼的方法研究三角形内角和的基础上学习本课内容的，这是学生第一回接触到分的方法，学生没有分的基础，所以需要教师在课堂上进行细致的引导。而把多边形分成三角形的方法是需要教师引导的，否则学生虽然能解决问题，却无法发现规律。同时学生已经有过规律探究研究的基础，对猜测猜想，验证，结论十分了解，所以这节课可以借用规律探究课的方式进行研究。
       【教学实践】
        一、提出问题，确定思路
        师：同学们，这些图形你们都认识吗？
        师：这些图形我们都称为多边形，这些都是它们的内角。那它们的内角和各是多少度呢？之间有
有规律呢？今天我们就来研究多边形的内角和。那么我们该从哪个图形开始呢？
        师：在探究复杂问题时，通常从简单开始。
        设计意图：探究多边形的内角和是一个比较复杂的问题，当一个问题非常复杂时，首先要想到，其中是否隐藏着某种规律，如果能找到这种规律，问题就会迎刃而解。探索规律，往往要利用已有的知识和经验，从简单的，熟悉的地方开始。所以让学生明确探究今天的问题要从简单的三角形、四边形开始。
        二、尝试探究，优化方法
        师：同学们，根据你们的经验，你觉得四边形内角和可能是多少度？你是怎样想的？
        生：四边形的内角和大于180°，因为三角形的内角和是180°，它有三个角，而四边形有4个角。
        生：长方形的内角和是360°，所以我觉得四边形的内角和也是360°。
        师：从特殊的四边形来猜想一般的四边形，这个联想很有价值。那么这些猜想对不对呢，还得去验证。
        出示活动要求：
       （1）试一试：想办法验证你的猜想。
       （2）说一说：小组里交流你的验证方法。

        师：出示图1，你们看懂了吗？
        生：他们是通过量一量，算一算来验证的。
        师：量、算可以得出它们的内角和。可是这些同学的结论是不一致的，你有什么想法？
        生：其中一个可能量错了，或者算错了。
        师：也许是这样的，出示图2，他是怎样来验证的？
        生：他是撕下来拼成了一个周角。
        师：这样做也能验证我们的猜想。
        师：量和拼在研究三角形时就用过，看来啊，方法还可以迁移。
        师：出示图3，你能看懂他的想法吗？
        生：他是将四边形分成了两个三角形，三角形的内角和是180°，那么四边形的内角和就是2个180°，也就是360°。
        师：通过分一分，可以把这个四边形的内角和转化成两个三角形的内角和。这个四边形可以分成两个三角形，是不是所有的四边形都可以分成两个三角形呢？
        师：闭上眼睛，在脑子里画一个，分一分；再在纸上画一个，分一分。
        老师这里也有一个，分一分，是不是都可以分成两个三角形？
        师：看来啊，任意一个四边形的内角和都可以转化成两个角形的内角和，
        所以它的内角和就是两个180°，也就是360°。
        师：现在看看刚刚量的结果，你能知道谁的正确了吗？那么如果我们接下去研究五边形、六边形甚至更多，你会用哪种方法？为什么？
        师：出示图4它的内角和是4个180°吗？
        生：他是将四边形分成了四个三角形，四个三角形的内角和是720°，但是比四边形的内角和多了中间的一个周角，所以它的内角和是720°减360°，也就是360°。
        师：看来，不同的分法会有不同的算法。
        设计意图：探究四边形的内角和是这节课的重点，为下面的五边形、六边形的内角和的探究打下基础。所以在这个环节让学生经历猜想，验证，最后得出结论。其中在验证过程中，充分让学生感悟到验证方法的多样性，从中选出最好的方法。
        三、运用结构，探索学习
        师：现在我们已经知道了三角形和四边形的内角和了，那你能猜一猜，五边形的内角和是多少度呢？
        出示活动要求：
        （1）猜想五边形的内角和，动手操作，得出结论。
        （2）猜想六边形的内角和，动手操作，得出结论。
        （3）在小组里说一说你的验证过程。
        出示图5

        生：左边是将五边形分成了一个三角形和一个四边形，所以五边形的内角和540°，右边五边形分成了3个三角形，所以内角和也是540°。
        师：你们都是这样验证的吗？都得内角和是540°吗？
         出示图6

        师：六边形你们又是研究的？
        生1：我猜想六边形的内角和是720°，我将六边形分成了2个四边形，所以六边形的内角和是720°，所以我的猜想是正确的。
        生2：我猜想六边形的内角和也是720°，我是将六边形分成了4个三角形，所以六边形的内角和是4个180°，也是720°。
        师：他们的结论都对吗？
        四、深化理解，完善结论
        师：照这样下去，你觉得七边形的内角和是几个180°，八边形呢？
        生：七边形的内角和是5个180°，八边形的内角和是6个180°。
        师：这只是我们的猜想，我们又可以怎样来验证呢？
        生：分一分（课件演示）
        师：看来啊已经找到规律了，多边形内角和=？
        同桌讨论，集体交流。
        生：多边形的内角和=（边数-2）×180°
        设计意图：探究五边形、六边形的内角和是在四边形内角和基础上进行了。所以在这个环节就是放手让学生充分的经历猜想、验证、结论的过程。在交流过程中能完整、清楚的表达自己的想法，培养他们的数学表达能力。
        五、回顾反思，总结延伸
        师：刚刚研究时有同学是这样来分的（出示下图），你们看得懂吗？你觉得多边形的内角和还可以怎样表示呢？

        生：多边形的内角和=边数×180°-360°。
        师：科学探索的道路是充满乐趣的和变数的，分法不一样，最后的结论好像也不太一样。那么这两个结论之间是否有联系呢，留给同学们课后思考。
        设计意图：不同的探究方法，得到不同的表达式，在这两个表达式中，其实还可以相互融通。这样学生就会进一步明晰其内在的联系。
       【课后思考】
        1.用猜想引领规律探索，体现结构化教学。
        这节课和教材设计最大的不同点就是意图充分给予每个孩子独立的猜想的空间，让孩子数形结合进行合理猜想，从而验证，验证的方法也可以多种多样，课堂上都给予肯定，而不再局限于一定要分成三角形来求内角和这种方法，最后得出五边形、六边形的内角和的结论，并以此方法推理到多边形的内角和的计算方法上，获得一般性的规律，并学会这一类问题的解决方法。
        从四边形内角和探究开始，学生结合学过的长正方形的内角和是360°进行合理猜想，再放手让学生去验证，得到任意四边形的内角和都是360°的结论。到学生结合三角形内角和180°和四边形内角和360°，再引导学生进行合理的猜想，学生从数形结合的特点进行猜想，可能是倍数关系，也可能是相差关系，这里是让学生意识到猜想是要有依据的，不是随便乱猜。正是有了猜想，从而学生会去有意识在分一分的验证过程中得出五边形内角和是540°的结论。学生从经历了探究五边形内角和时的半扶半放，到六边形内角和的全放，通过这样层层的猜想、验证、结论这样结构化的教学过程，学生轻而易举地能够发现多边形的内角和与边数有关，从而获得一般性的规律，让学生初步体验了数学表达的严谨性和简洁性。
        2.遵循学生认知特点，有效调整教学环节。
        课堂中要以生为本，尊重学生的想法和思维，理解学生，立足于学生的思维生长点，有效地调控课堂。在整个知识的获取过程中基本上都是让学生自己动手、动口去获取的，自主提出猜想，并进行验证。在探究四边形内角和环节上，在之前的研究中发现很多学生觉得只研究一个四边形不能代表全部的四边形的内角和都是360°，所以我们在材料准备时提供丰富的素材，让学生从不同的四边形中得出结论，并提供足够的时间让学生经历从具体到抽象的过程，闭上眼想一个任意四边形，再分一分。再想一个，再分一分，从而得出结论，让学生体会了数学的严谨性。
        同时在四边形分时，学生出现了的交叉这一种情况，这时候问学生这个四边形内角和是不是就是4个180°呢？引起学生认知上的冲突，明确多出来的一个周角要减掉才是四边形的内角和。这个内容更是为课尾呈现的180°乘几-360°做了很好的铺垫。在分的过程中，我们没有明确要求一定要将多边形分成三角形，而是发散学生的思维，所以我们能清晰地看到学生在探究五、六边形内角和时多种不同的分法。最后我们也从学生分的另一个角度出发，从中心开始分多边形，也能得到求多边形内角和的另一种规律，和前面所学的规律进行比较判断，给学生一种峰回路转，但又殊途同归的感觉。
        3.教学层层递进提升，有机渗透思想方法，
        我们的教学不是为了解决某一个问题，而是要教给学生思考问题的方法，让学生今后能够用抽象的方法去思维，能够持续地研究问题，想得更深入一点，学得更清晰点。这节课教学块面上层层递进，从课堂开始给孩子们抛的难题入手，启发学生从三角形的内角和开始研究，从中发现规律，渗透了从简单出发这样的思想方法。
        探究四边形、五边形、六边形内角和结束后，我们需要适时引导，从学生不同的分法中找到共同点，五边形可以分成一个四边形和一个三角形，六边形可以分成两个四边形或都两个三角形和一个四边形等，但不管怎么样，本质都是一样的，都是把复杂的图形变成简单的图形，都可以把多边形分成几个三角形，让学生更深层次地感悟到转化的神奇之处。
参考文献：
1.郑毓信，著.小学数学概念与思维教学[M].南京：江苏凤凰教育出版社.2014
2.王光明,范文贵.新版课程标准解析与教学指导[M].北京：北京师范大学出版社.2012
3.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社.2012
4.邱石军《猜想的几种方法》农村青少年科学探究 2008.03