中北大学 036000
摘要：“材料科学与工程基础”是一门材料类专业学生必修的基础理论课程，其中晶体结构所涉及的教学内容比较抽象微观，对教师和学生而言，教授和学习这部分知识有一定的难度。在课堂教学过程中，学生参与课堂互动程度低，学生对知识点的理解大多限于知其然不知其所以然，教学效果不理想。因此，在晶体结构教学过程中，让学生借助已有的数学基础知识理解抽象的专业知识，加强师生互动、生生互动，使课堂活跃。
关键词：数学思维；离子晶体；共价晶体；致密度
引言
国家经济社会各项重大改革攻坚任务，都需要高等教育提供坚强的智力支撑和人才保障。在教学科研过程中，除了知识传授和能力培养外，对学生潜移默化的价值引领越来越重要。《无机非金属材料工学》是无机非金属材料工程专业的核心课程，主要以介绍各类无机非金属材料生产原料和燃料、生产过程原理、生产工艺、设备及材料性质等为主，知识体系庞杂，课程内容极为丰富、繁多，实践性强。传统教学往往存在教师难讲、学生难理解、课堂教学效果差等问题．为达到令人满意的教学效果，对《无机非金属材料工学》课程进行能够促进教学互动、激发学生主动性的教学改革。
一、无机非金属材料工学课程的教学现状
（一）课堂授课形式相对单一，学生普遍反映该课程非常难学传统教学理念以“教”为主体，教师往往只是把知识一味地灌输给学生，采用的教学方法、教学手段相对单一，大部分时间都是老师在讲台上讲解知识，造成学生在课堂上注意力不集中，提不起兴趣，出现玩手机、睡觉等现象．此外，该课程本身信息量大、综合性强，基本概念、生产工艺、结构特征、性能特点较多．此外，该课程联系工程实际情况较多，很多工艺过程、工业设备、仪表等学生从未见过，很难记住，仅仅是感性认识。
（二）学生生源质量差异大，学习兴趣和主动性不强
我校该专业的学生有一半以上来自于少数民族地区，少数民族学生比例高，并且农村生源比例高，学生入学成绩差异大，学习状态不稳定．此外，学生普遍缺乏刻苦钻研、严于律己的精神，学习主动性差，自身定位不明确，容易受周围环境的影响．传统教学模式学生是被动的学习，课堂教学缺乏趣味性，容易形成沉闷的课堂气氛，导致学生的主动性和积极性都比较差。
二、数学思维的应用
（一）数学启发在晶胞常数及致密度教学中的应用
基于晶体结构的几何图形，计算晶胞常数及致密度。四川大学顾宜教授主编的《材料科学与工程基础》教材中详细解释了面心立方和体心立方晶胞常数及致密度的计算。这里，我们介绍密排六方晶胞常数及致密度的计算。
密排六方点阵常数a和c与原子半径R的关系见图1，上层或底层的相邻顶点原子相切，因此，a=2R（图1（a））。中间层一个原子、底层面心原子以及底层两个相邻顶点原子，紧密堆积形成棱长为a的正四面体（图1（a）），中间层原子到上下两个底面距离相等，所以只需计算正四面顶点到底面的高即得c/2（图1（b））。引导学生利用正四面体知识计算点阵常数c。具体如下：
将晶体结构化解为简单几何图形，通过数学知识演算密排六方晶胞结构的晶格常数和致密度，激发学生学习兴趣和成就感。
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（二）共价晶体面心立方晶胞结构及致密度
金刚石和单晶硅都属于典型的共价晶体，二者具有相同的立方晶胞结构。基于金属晶体面心立方结构及间隙的几何结构，引导学生理解共价晶体立方晶胞结构。以金刚石为例，其晶胞结构可看作一部分碳原子形成面心立方晶胞，另一部分碳原子填充面心立方晶胞中不相邻的四面体间隙。则其结构特征为立方体的6个面心、8个顶点以及4个不相邻的四面体间隙中心占据碳原子。其晶胞结构如图2（b）所示，金刚石为共价晶体，1个顶点碳原子、与共该顶点的3个面的面心碳原子，同时与它们形成的四面体间隙中心碳原子形成C-C共价键。
给学生展示文献资料，引导学生获得有关金刚石的结构信息：键长lC-C=0.15445nm，共价半径RC=0.07723nm，即lC-C=2RC，键角为109°28′（约为109.5°）。紧密堆积的金属晶体面心立方四面体间隙大小为0.225R，则四面体间隙中心的碳原子，将四面体顶点碳原子撑开，导致面心原子与同面的顶点原子不再相切。基于图2（b）所示的晶胞结构，引导学生利用几何及三角函数等数学基础知识计算金刚石晶格常数a与键长lC-C及碳原子半径RC的关系，具体推导如下：
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为了让学生理解共价晶体的堆积程度，下面以金刚石共价晶体为例，引导学生演算共价晶体面心立方结构晶胞致密度，具体如下：
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由推导过程可知，金刚石的致密度与碳原子半径和键长无关，只与晶体结构有关，单晶硅与金刚石具有相同的晶体结构，因此，单晶硅的致密度也为33.97%。金刚石和单晶硅具有较低的致密度。结合文献数据及学生熟知的数学知识，引导学生理解共价晶体的结构及演算致密度，学生积极参与且深入钻研，从而提高课堂教学效果。
（三）八面体间隙
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图2（b）示出体心立方结构中的两类八面体间隙。其一、每个面上的4个顶点原子，与共该面的两个晶胞体心原子形成一个八面体间隙，另外，共棱的两个顶点原子，与共该棱的4个晶胞体心原子形成一个八面体间隙。八面体间隙的中心分别位于面心和棱的中点。结合图2（b），引导学生观察体心立方结构中6个面都存在5个八面体间隙中心。以（001）面为例，引导学生分别标出该面上5个间隙中心的坐标：位于面心的间隙中心的坐标为（1/2，1/2，1），位于棱中点的间隙中心的坐标分别为（1/2，0，1），（1，1/2，1），（1/2，1，1），（0，1/2，1）。另外，借助图2（b），引导学生计算间隙的大小，具体计算过程如下：
结束语
综上所述，利用学生熟悉的数学知识分析抽象晶体结构专业知识，逐步引导学生理解且演算晶体结构中的各种参数。将数学启发应用到金属晶体结构及间隙的教学中，有利于学生理解并掌握晶胞常数及致密度的计算、以及间隙位置及大小等知识。引导学生应用数学基础知识理解抽象的专业知识，潜移默化地培养学生跨学科知识的综合运用技巧及创新思维能力。
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