娄雨涵、付庄艺、万慧琳、姚敏欣、张黛茨
（江汉大学 人工智能学院， 湖北 武汉 430056）
[摘要]利用柯西不等式及其灵活变形能简化诸多不等式的证明，拓宽思维视角。笔者利用柯西不等式的向量形式及积分形式证明了基本不等式、均值不等式、三角不等式、嵌入不等式和积分不等式。
[关键词]柯西不等式、三角不等式、嵌入不等式、积分不等式
1、引言
柯西不等式是是由大数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，同时由德国数学家Schwarz与乌克兰数学家Bunyakovsky各自于1885年与1861年独立发现并在积分学中推广应用，使其逐步完善。柯西不等式是一个具有重要应用价值的经典不等式，在数学中有着广泛应用，它是推证许多其他不等式的基础。因此，在大学数学的提升与研究中非常之重要，是高等数学研究的主要内容之一。也由此，柯西不等式对于本科生而言并不陌生，在数学分析的无穷级数和积分乘积，线性代数中的矢量，以及概率论的方差和协方差中都有相应的柯西不等式。
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柯西不等式在各个领域中都有广泛使用，在不同的领域有不同的表现形式，但其本质是一样的。下面笔者总结了柯西不等式在证明基本不等式、均值不等式、三角不等式、嵌入不等式和积分不等式中柯西不等式的重要应用。
2、柯西不等式在不等式证明中的具体应用
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3)证明三角不等式
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3、总结
柯西不等式在数学中是一个非常重要的不等式，它是推证许多其他不等式的基础，因此要理解柯西不等式并熟练运用。柯西不等式还有诸多的推广形式，如闵可夫斯基不等式，Holder不等式等。有不少学者利用柯西不等式及其推广的不等式来研究不确定性问题。柯西不等式有很好的对称性及广泛的选择性。可灵活选取元素的顺序，遵守取等条件，依照等号成立的条件，巧妙地变化出应用的前提条件，将项进行匹配调整，分拆项或者凑因子等，可以得到不同的结合形式，从而可以有效使得不等式更紧致。因此熟练地应用柯西不等式能使复杂问题得到简化，从而在解决问题时可以达到事半功倍的效果。
参考文献
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作者简介：娄雨涵（2000.7-）女，汉族?，湖北省武汉市?，本科，职称：无?
现工作或学习单位：江汉大学
指导老师：胡晓莉，（1984.04-），女，汉，湖北武汉，博士研究生，副教授，工作年限7年，江汉大学，数学与计算机科学学院，数学