冯国虎① 胡黎明②
杭州橄榄树学校① 杭州市余杭区临平第五中学② 浙江 杭州 311100
摘要：二次函数的应用类型有很多，本文就二次函数应用中常见的又跟生活联系密切的两类问题进行研究，一类是最优化问题，一类是抛物线形问题。通过对学生解题情况的研究，探索不同的学生在解题时思维易受阻遏、凝滞的点的一般分布规律；着眼于学生的最近发展区，通过分层设计主导、学习任务主线、学生思维主构，寻求学生在二次函数应用题问题解决的思维过程中易受阻遏、凝滞点的有效突破方法、策略等。
关键词：三主课堂；二次函数；应用题；解题策略
一、研究问题的情境性分析
（一）二次函数学习的现状
对我校学生学习二次函数的情况分析，现状是：学生对二次函数的相关知识都能够理解，在运用函数知识解决应用问题时，对于两种题基本上都能找到解决的办法：一类是简单明了、问题指向明确的；一类是与老师在课堂上已经讲评过的题雷同。在解决问题的过程中，很多学生没有多做思考，直接将老师以往讲过的方法套用上去，缺乏思考的过程。因此每当一遇到在不同的情境中需要解决的问题或有一定难度需要深入思考的二次函数应用问题，就变得手足无措，无从下手，更谈不上解决问题的策略了。
（二）二次函数应用题解题策略的研究现状
近期查阅了很多关于二次函数应用题解题策略方面的文献资料。大多数的研究主要分析应用问题的类型，归纳各种类型不同的解题方式以及学生应对的数学方法和技巧。但是针对学生不同的学习基础，根据学生的最近发展区以学生本身作为主要研究对象进行二次函数应用题解决策略的研究相对较少。
（三）学校层面“三主”课堂设计与实施研究
我校在2017上半学年对教师的课堂持续跟踪听课，并且对每个年级的200名学生进行随机调查、分析并得出我校课堂教学中急于解决的问题就是：深入了解学生学习层次，大力进行学法开发，合理安排课堂教学时间。因此提出了：基于分层的初中“三主”课堂设计和实施研究。该课题在余杭区2018年教育科学研究课题成功立项。我校数学学科也紧紧围绕该课题开展课堂教学活动
二、核心概念的操作定义
维果斯基的“最近发展区理论”，认为学生的发展有两种水平：一种是学生的现有水平，指独立活动时所能达到的解决问题的水平；另一种是学生可能的发展水平，也就是通过教学所获得的潜力。两者之间的差异就是最近发展区。教学应着眼于学生的最近发展区，为学生提供带有难度的内容，调动学生的积极性，发挥其潜能，超越其最近发展区而达到下一发展阶段的水平，然后在此基础上进行下一个发展区的发展。
“三主”课堂，指的是“分层设计主导、学习任务主线、学生思维主构”以生为主的课堂教学探讨“三主”：指分层设计主导、学习任务主线、学生思维主构并有机整合的三个课堂教学支柱性操作策略。这里“分层设计主导”指教学目标设定、教学环节设计、教学方法采用、支持性策略运用、训练测试资源选用等教学预设的诸方面，根据学情作分层设计的主导性策略。“学习任务主线”指以不同难度的任务或任务组合驱动“教”和“学”进程，最终达成不同层次的课堂教学目标的课堂教学操作性策略。“学生思维主构”指课堂教学激活学生思维，聚焦学生问题解决的思维过程、策略、疑难的课堂教学操作性策略。“三主”有机整合，是“跟着学生走”教学理念的表征和载体。
三、研究指向与研究内容
（一）研究指向
二次函数的应用类型有很多，本文就二次函数应用中常见的又跟生活联系密切的两类问题进行研究，一类是最优化问题，一类是抛物线形问题。通过对学生解题情况的研究，探索不同的学生在解题时思维易受阻遏、凝滞的点的一般分布规律；着眼于学生的最近发展区，通过分层设计主导、学习任务主线、学生思维主构，寻求学生在二次函数应用题问题解决的思维过程中易受阻遏、凝滞点的有效突破方法、策略等。
（二）研究内容
1.分层设计主导。关注“分层”，作好分层教学预设。研究根据不同层次学生二次函数的学习基础，指向其最近发展区，分层确定教学目标、设计教学环节、配置教学资源、优选教学方法及支持策略等的方法、策略。
2.学习任务主线。关注“任务”驱动学习，引导、支持学生主要经由学习任务完成，达成分层设定的教学目标。主要研究学习任务的基本类型（如指令任务、自定任务、自选任务等）及任务组合方式；学习任务与学生基础、分层目标的匹配、适切的方法、策略；学习任务的布置、完成、反馈、调控、检测等的方式、路径或载体；学习任务完成的资源组织、支持策略运用的方法、路径、载体和策略；学习任务的布置、完成、反馈、检测、调控与现代教育信息技术深度融合的方法、策略；学习任务按预设有序推进和灵动生成的方法、策略等。
3.学生思维主构。关注“思维”和“建构”，提高学生数学思维品质。主要研究不同层次学生学习过程中思维易受阻遏、凝滞的点的一般分布规律；学生问题解决的思维过程中易受阻遏、凝滞点的有效突破方法、策略等。
四、研究过程
（一）收集、整理不同的阶段不同的学生在二次函数应用题解决中思维的易受阻遏、凝滞的点分别在新课教学阶段、期末复习阶段、中考复习阶段对学生的解题情况进行调查，其中部分调查题和调查表如下：
.jpg)
.jpg)
以上三题是分别在新课教学阶段、期末复习阶段、中考复习阶段这几个不同
阶段用于调查学生的解题情况，以及学生填写调查表的情况。通过对学生答题及调查表的填写内容进行分析，总结学生在解题时遇到的具体情况主要存在以下问题。
1.题目意思理解了，但“我”不知道该怎么做
学生在新课学习时比较常见的问题就是不知道该怎么做。能读懂题，但是不知道自己该干什么的人比比皆是。比如例3中，面积知道应该半圆面积加上矩形面积，但是半径和矩形的长、宽都不知道，这么多的未知量，有些人不知该怎么办；有些人设了半径为x，则矩形窗框高为y，面积表示出来后就做不下去了。要将生活中实际应用问题转化成二次函数模型来解决，需要一个通过多次体验不断加深认知过程，最终逐渐形成此类问题的一般解题思维。
2.这题见过，但“我”忘了怎么做或“我”怎么会错了
期末复习时学生对应用类问题已经有了多次体验，已经初步建立二次函数模型思想，但在复习课中还是会出现见过的题不会做或做错。不会做的学生一种是新课教学时一知半解，一种是学习上缺少复习巩固知识环节；做错的同学是不能适应题目中的变化，不能举一反三或缺少逆向思维。例如下面的2018年衢州卷中这道二次函数抛物线形问题。此类问题在书本章节复习题中已经出现过，但在原题基础上做了一定的修改，特别是第（3）小题，学生在阅读题目时对于“在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米”这句话都不太理解。不能适应题目的改编是学生眼熟但又不能解题的一个重要的思维凝滞点。
.jpg)
3.一道题这么多文字，“我”怕了
二次函数应用题经常会出现一题文字有200-300字，例如上文中2018年衢州卷这道喷水池问题。信息都要从题目中找出来，而且这种题型有时候综合性也比较强。当人身处于中考状态下，心情会变得烦躁不安，读题读不到心里去，几遍读下来都没有明白讲了什么，导致考生压力变大，解不出题，甚至还会影响后面的答题情况。
4.这题会做，“我”就是漏了条件
中考复习中基础较好的学生对二次函数应用题的掌握程度较好，但在实际解题中还是会丢分，主要原因在于题目中条件遗漏，解答缺少完整性。例如下面这题是典型的最优化数学模型的应用，但学生在实际解题过程中求最大值时没有考虑a的不确定性，直接使用二次函数性质求出最值就结束了。不确定性的出现，脑海里的第一映像应该考虑分类讨论，由于在解题时忽视了条件，导致扣分，十分可惜。
.jpg)
（二）基于“三主”课堂下的初中数学二次函数应用题解题策略研究
1.提前做好热身运动，教学环节中分层设计主导
在教学中，学生原有的知识储备不同，学习能力不同，必然需要在教学中设计不同的教学目标、教学环节、教学方法。并不一定每节课都要做到，但有些课在采用分层设计主导后确实能提高课堂教学效果。在二次函数最优化问题和抛物线形问题的新课教学中，设计一组简单的课前热身题，以便基础薄弱学习能力不足的学生在课堂上能跟上上课节奏，积极参与进来。最优化问题新课教学时设计以下一组习题：
1、圆的面积和半径之间的关系是 ，面积是半径的 函数。
2、已知二次函数y=x2-4x+3，当x= 时，y有最 值，y= 。
3、小明家房子装修，房间要设置一个窗户如图所示，铝合金窗框总长度为8米，当窗框的宽和高分别为多少时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？（提示：可设宽为x）
这是九年级下册1.4的新课教学前的一组热身题，利用第1-2题回顾圆面积公式和二次函数最值的求解。第3题则更像是一个简版的例题并添加了解题提示，让一部分学困生提前体验到变量关系可以用函数关系式表示，就可以用函数知识解决应用问题。
九年级下册P35第17题为抛物线形问题，设计以下热身题：
.jpg)
习题：已知一个二次函数图象与x轴的一个交点为（5,0），顶点坐标为（2,3），
求抛物线表达式及它与y轴的交点坐标。
以上两组热身题的设计，可以让学生充分做好接受新知识的准备，在例题教
学中可以将二次函数知识迁移到实际应用题中来，体验函数应用问题的解决就是一个将生活中的问题转化为二次函数问题的过程，用函数知识解题，逐渐在学生思维中渗透数学建模思想。
2.学困生为主，学优生为辅的课堂教学模式，助力学生实现思维主构
学优生在课堂的表现活跃，遇到问题教师经常请这类学生回答，这对于学困生而言整节课变成了被动的学习。这样的课堂不利于学困生思维的训练，思维品质得不到提升。如果我们改变一下课堂教学方式，将课堂还给学生，让他们在课堂上就能充分暴露问题，并通过同伴互助，协助他们突破思维过程中易受阻遏、凝滞点，尝试学习别人的思考方式或解题方法，让自己的思维得以锻炼。下面是九年级下册P26例2在课堂教学时的一个片段：
教师：请同学们思考例2（PPT展示例题，读一遍题目，边读边在图中标注已知条件）（学生思考约3分钟后请朱同学回答问题）
朱同学：我先找出图中两船的距离是A’B’,速度已知所以可以求得AA’=12t,AB’=26-5t,然后用勾股定理可以把A’B’求出来。
教师：（根据同学所说画图、板书）那两船的最近距离怎么求？
朱同学：嗯。。。不知道了。
教师：有哪位同学可以帮助一下？（此时优等生王同学举手）
王同学：被开方数可以看成y=169t2-260t+676,那么y就是t的二次函数，因为a=169>0,所以函数有最小值，用公式或配方法可以求出来。被开方数为最小时，开方后的结果也应该是最小的。
朱同学：哦，明白了。
3.复习阶段重视归纳、小结，在学生头脑中形成数学思想、数学方法
在期末复习中对同类题型做好归纳总结，形成一般性解题思路，便于快速找到解题方法。在二次函数最优化应用题中，九年级下册P24-26页三个例题中有面积最大问题，行程最短问题，利润最大问题等问题，可以直接归纳为用二次函数最优化模型来刻画；抛物线形应用题是二次函数与方程的转换。
4.每日一题，边读边划，提高应用题阅读能力
在学习二次函数期间，每日一题作为一项每天必做的学习任务，主要用于学生对生活中常见的二次函数应用类问题能读懂理解。当今世界是信息的世界，只要你有WiFi，就可以找到各种你需要的信息。将班级分成8个学习小组，由小组长带领组员从网上寻找二次函数应用题，准备每日一题由一名组员进行讲解，两周时间下来，他们可以积累很多。每个小组的题还可以展示在班级学习园地中实现资源共享。
应用题因为文字多会造成看不懂或漏看信息，甚至有些同学造成心理阴影，一旦字数多的题目出现就自动放弃了。而实际上，出卷人也会考虑道这种情况，会以小题形式出现，制造台阶让学生可以拾级而上。这就需要学生能冷静读题，认真思考，这时可以采取边读边划的方式，将有用的信息或数据划出，有图的话直接在图上标注，没有图形就自己画。要求应用题必须读三遍再解题，那么在读第二遍及第三遍的时候就可以去掉无用信息将题目简化。同时重点划出后，有助于在解题时提高关注度，解答时避免遗漏信息解答不全。
五、研究成果及有待改进的地方
1.通过与平行班比较，解题策略有成效。经过一年的研究性教学，学生对二次函数应用题的解题能力有明显提高，关于此类问题的解答笔者所任教班级的得分率比其他班级高出10%-16%。笔者撰写的关于二次函数应用题的教学案例在学校组织的案例评比中获得二等奖。
2.没有照顾到基础最薄弱的学生。很遗憾在本次教学研究中对于基础最差的少部分人没有采取相应的学习二次函数应用类问题的策略。这少部分人在二次函数学习的初始阶段最突出的问题就是能够听懂老师在讲什么，但是做不出来。因为这类学生在七、八年级时期甚至是小学高段学习时对运算都没有掌握好，所以哪怕知道顶点坐标公式都算不出坐标来。这个实验班级是本人中途在九年级时接班，在之前的学习中数学老师换了4位，学生可能刚适应这个老师就换掉了，导致少数同学双基落实不到位。这也提醒笔者在今后的教学中务必将双基落实，否则将严重影响孩子后期的学习。
3.本次研究的内容有局限性。这次是仅对于二次函数应用题中最优化问题和抛物线形问题展开研究、探讨，以上的方法是否可以在其他章节学习中进行推广或者有其他不同的解题策略还需要深入探究。
4.希望能得到更多有效的指导。此次课题研究有笔者个人完成，有个别数学组内教师听过课，给与本人一些意见和建议，但未给出实质性的指导，希望有专家能在教师课题研究方面能亲临现场，给予指点。
参考文献：
[1]《教育心理学》，张春兴，浙江教育出版社
[2]《数学九年级下册浙教版》.主编.范良火
[3]《基于分层的初中“三主”课堂设计与实施研究》江贵生.2018年规划课题