樊婷
西安市经开第六中学
摘 要： 数学教材中的习题具有典型性与示范性，教学时应该引导学生进行方法归纳，题目归类，抓住本质，建立模型、提高解题能力，进而促进学生思维品质的发展，真正落实数学核心素养。
关键词：习题教学；功能分析；思维品质
1、习题呈现与分析
北师大版九年级上册第一章第三节正方形的性质与判定课后有这样一道题目：
如图： 四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上。仓库和分别位
于和上，且。证明两条直路且。
分析：容易得到,进而得到.同时由全等可以得到,再加上,由互余加等量代换可以得到.
2、教学设计与回顾
课堂教学中，我对题目进行了变式，采取问题教学法，引导学生思考解决问题的本质，建立模型，最终能够落实“一题多变，建立模型，思想内化，提高解题能力”的教学目标。
问题1（抓本质）：证明此题都用到了那些知识？条件有什么作用？
教学分析：这两个问题的设置，帮助学生回顾旧知，降低了思维难度，同时让学生明确解决此问题本质：将正方形的性质与三角形全等的判定与性质相结合证明两条直线的数量与位置关系。
问题2（建模型）: 条件是为了得到，那把条件换成，你还能证明吗？能得到吗？
基于上面问题2，我将原题进行了如下变式：
变式1：如图1，在正方形中，, 分别为,上的点，，求证：。
教学分析：通过上一道题证明，学生很容易想到，利用全等来证明。此题难
度并不大。但是可以得到“正方形内部互相垂直的两条线段相等的结论”，对于后面的学习具有很大的帮助。
问题3：（模型一般化）：如果继续将变式1一般化，在正方形内任意取两条垂直的线段你还能证明它们相等吗？先画出图形，你能编一道与变式1 类似的题目吗？
此问题抛出，极大的激发了学生的兴趣，最后学生设计了下面的变式。
变式2：如图2，在正方形，分别是线段上的点，若,求证：。
教学分析：此时学生已经积累了解题经验，很容易联想到构造三角形全等解决问题。在具体教学过程中，出现了下面两种构造三角形全等的方法。
方法一：如图3，过点作过点作，构造，由题目易得，，又，容易得到，进而得到，故有.
方法二：如图4，过点分别作的平行线，构造 ,进而证明 ，得到 ，即 。
问题4：通过上面的变式1和2，大家能得到什么结论？
同学们异口同声的说“正方形中垂直的两条线段相等”。
问题5：是这样吗？请同学们仔细思考是不是正方形内任意两条互相垂直的线段都相等呢？
立刻有位同学提出质疑，互相垂直的线段并不是任意的，垂直线段的两个端点必须在正方形的对边上。
否则，不一定成立，如图5，但是。
教学分析：在得出变式2的一种证明方法后，鼓励学生思考其它的方法，进行一题多解，拓展学生思维的宽度。通过问题4得出结论后，继续抛出问题5，构建质疑课堂，促进学生思维批判性的培养。最终，建立模型，为学生模型化的解题思路做好铺垫。
问题5：如果将变式1和变式2中的已知和求证换一下，能得到怎样的题目？通过类比前面变式1和变式2得到的结论，你又能得到怎样的结论呢？
教学分析：引导学生自己进行变式3和4，这样有利于学生更加深刻地意识到变式的发生发展过程，对解决题目有很大的裨益。同时，引导学生类比前面经验，进行总结归纳，得到结论，正方形内“相等的相交线互相垂直”。
变式3：如图1，在正方形中，, 分别为,上的点，，求证：。
变式4：如图2，在正方形，分别是线段上的点，
若,求证：。
问题6： 根据前面得到的结论，你能否快速的解决下面的这道题？
如图6，将边为2cm的正方形纸片折叠，使点在边的中点处，点落在点处，折痕为，则线段的长度是多少?
分析：由折叠可以知道图形全等，此外隐含着一个重要的信息“对称轴垂直平分对应点所连接的线段”。如图7，连接，由前面得到的结论“正方形内部互相垂直的线段相等”可知。
3、习题功能分析
3.1 促进知识网络的形成
习题对所学学知识起到巩固和加深理解的作用，所以开始就提问学生“本题都涉及哪些知识点？”促使学生回顾正方形的性质、三角形全等的判定与性质、证明线段相等的方法、两锐角互余、等量代换等相关知识。在变式训练时，笔者精心设计了相关问题，形成了一些互相联系的变式，有利于扩展学生原有的知识结构，形成知识网络。
3.2 培养学生思维的批判性
在学生得出“正方形中垂直的两条线段相等”时，我立刻抛出质疑“是不是正方形内任意两条互相垂直的线段都相等呢？”营造了质疑的氛围，鼓励学生在探究形成结论的基础上，敢于质疑，有利于促进批判性思维的形成。
3.3 培养学生思维的深刻性
通过习题，进行变式训练，拓展延伸，将问题深刻化，引导学生探索其中的本质和规律，进行归纳类比，建立模型，让学生懂得从复杂的事物中抓住本质，举一反三、触类旁通，最终使学生“做一题、学一法、会一类、通一片”，从而培养学生思维的深刻性。
3.4 激发学生学习的热情
本节课通过不断提问，引导学生主动编写题目，让学生在课堂上亲身经历了知识发生、发展、形成的过程。极大地激发了学生学习数学的积极性和主动性，把课堂还给学生。
结束语：
习题是纲，是源，在平时的教学中，教师应该根据习题的特点，采取相适应的教学方法，将习题的价值功能发挥到最大化。本节课我通过设置问题，引导学生进行变式训练，抓本质、建模型，引向深度学习，发展学生思维品质，让数学核心素养在课堂上真正生根。
参考文献：
[1]裴丽萍.例谈变式训练在数学教学中的作用[J].中小学数学（中旬），2019（4）:52-53.
[2]潘小梅.深度思维，焕发例题教学的价值[J].中学数学参考（中旬），2020（2）:63-65.