湖北省利川市清江外国语学校 朱荣敏 445400
摘要：方程与函数是中考中常见的类型数学题，而两者的综合题型也是主要的考查形式，这种题型综合性很强。
关键词：初中数学、方程综合题、函数综合题、方程与函数综合题
引言：初中数学是学生中考中非常重要的学科，学好数学对学生的思维有着一定的要求，学生需要加强对数学知识各个知识点之间的联系，灵活地运用数形结合的思想。
1.函数型的综合题
函数是一种描述变化规律的数学模型，函数的种类也比较多，如一次函数、二次函数和正反比例函数等，数学的问题比较具有一定的思维逻辑性和兼容性，数学的问题都会包含很多的数学知识点。在解答数学函数型综合题的过程中，都是将问题给出的示例图为中心，利用函数的一些概念特点来解答出函数的解析式，进而根据一些数学的基本概念和公式定理，进行解答验证，验证出问题的结果。
例如，如图所示，抛物线y = ax2+bx-3经过点A（2，-3），与x轴的负半轴相交于点B，与y轴相交于点C，且OC = 3OB.
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(1)抛物线的解析式；
(2)点D 在y轴上，且∠BDO=∠BAC,求点D的坐标；
(3)点M在这个抛物线上，点N在这个抛物线的对称轴上，是否存在一点A,B,M,N为顶点的平行四边形？若存在求出点M的坐标。
解：（1）令x =0 可得出y =-3
∴ C(0，-3)
∴OC = 3
∵OC = 3OB
∴OB = 1
∴B（-1,0）
把A(2.-3),B(-1,0)分别代入抛物线y = ax2+bx-3中得出a=1,b=-2
∴抛物线的解析式为y = x2-2x-3
（2）如图过点B作BE⊥AC,交AC的延长线于点E.
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∵C(0,3),A(2,-3)
∴ AC∥x轴
∴BE =3
又∵OB=1
∴AE=3
∴AE=BE
∴∠BAE=45o
∵∠BOD=∠BAC=45o
∴OB=OD
∴点D的坐标为（0，1）或（0，-1）
（3）当AB∥MN时，由AB=MN=3√2就可以得知点M和对称轴的距离为3，
由抛物线的解析式y = x2-2x-3可得出对称轴为一条直线x=1,
∴点M的横坐标为-2或者4,
把x=-2,x=4分别代入 y = x2-2x-3中，可得出y=5,即点M的坐标为（-2,5）或者（4,5），
当MN与AB互相垂直平分时，四边形AMBN是平行四边形，有AC=BN=2，可得出点M和点C重合，就可以得出点M的坐标为（0，-3）
∴是存在的，点M的坐标可以为（0，-3），（-2,5），（4,5）。
这道问题包含了抛物线，平行四边形等和函数的知识，教师要引导学生的深度挖掘一些隐藏的条件，将这些数学知识联合起来。
2.方程型的综合题
方程型的综合题都是以方程为中心的数学问题，需要学生灵活地运用方程的一些基本概念和定义来解决问题，方程型的问题包含着很多类型的方程，是解决数学问题的有效手段。初中九年就主要学习的就是一元二次方程，数学的考试中经常会出现一元二次方程的一些综合性问题，这就需要学生能够将相关的数学知识点联合起来解决问题。
例如，某企业响应国家号召，对乡镇的初、高中的贫困生进行教学资助，初中贫困生每个月资助200元，高中贫困生每个月资助300元，已知被资助初中生贫困生人数是被资助高中贫困生人数的2倍，该企业在2019年上半年的6个月中对贫困生共支出10.5万元。问：
（1）该乡镇中资助的初中生和高中生各是多少人？
（2）在2019年上半年的6个月中，受资助的初中生和高中生之中，分别有30%和40%的学生评为了优秀学习生，获得了学校和政府的表扬，提供资助的企业决定在2019年下半年中为评为优秀学习生的初中贫困生每个月增加a%的资助，贫困高中生每个月增加2a%的资助，在2019年下半年中评为优秀学习生的贫困初中生和高中生分别比上半年增加了3a%和a%，在2019年下半年中对贫困初，高中生所获得的资助一个月达到了10800，求a 的值。
解：（1）10.5万元=105000元
设资助的高中人数为x人，那么资助的初中生人数为2x人，
由题意可得：（200×2x+300x）×6=105000，解得x=25,2x=50
∴该乡镇有50名初中生和25名高中生得到了资助
（2）由题意可得:
50×30%×（1+3a%）×200（1+a%）+25×40%×（1+a%）×300（1+2a%）=10800
∴10×（1+3a%）×（1+a%）+10×（1+a%）×（1+2a%）=36
设a%=t，代入方程可得：10（1+4t+3t2）+10（1+3t+2t2）
∴25t2+35t-8=0
解得t=-1.6（舍去）t=0.2=20%
∴a=20.
3.方程和函数综合题
方程和函数综合题型是将方程和函数紧密地联系起来，通过对数学题目进行分析归类，找到方程和函数之间的关系，加强两者之间的联系，充分地利用数学中的数形结合的思想，来找到问题的答案。
例如，如图所示，矩形ABCD中，BC=a cm,AB=b cm，a＞b，且a和b是方程8-4x/x（x+5）+2x+3/x+5=1的两个根。P是BC上的一个动点，动点Q在PC或者延长线上，BP=PQ，以PQ为一边的正方形为PQRS.点P从B点开始沿着BC方向运动，设BP=x cm，正方形PQRS和矩形ABCD重叠的阴影部分面积为y cm2，
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求：（1）a和b的值
（2）分别求出0≤x≤2和2≤x≤4，y和x之间的函数关系
解：（1）8-4x/x（x+5）+2x+3/x+5=1可转化为8-4x+x（2x+3）=x（x+5）
解得x=2或者x=4，∵a＞b，∴a=4，b=2
（2）当0≤x≤2时，重合面积为边长x的正方形，当2≤x≤4时，重合的阴影是正方形，边长就是4-x，∴当0≤x≤2时，y=x2；当2≤x≤4时，y=2（4-x）。
结束语:解答初中数学的方程与函数综合问题，需要学生拥有一定的数学知识基础，教师要引导学生掌握方程和函数之间的联系和性质，利用数形结合的思想来解决数学问题。
参考文献：
[1]秦兴旺.初中数学方程与函数综合题的几种类型[J].教育实践与研究(B),2015:64-66.
[2]吴璇.浅析初中数学方程与函数综合题的几种类型[J].《中学课程辅导：教师教育》,2015:35-36.
[3]陈小琴.试分析初中数学方程与函数综合题的几种类型[J].考试周刊,2017