李焕
湖北省宜昌市第十六中学
摘要：二次根式是数与式的核心内容，让学生经历概念学习的初识--理解--明确--巩固--熟识这几个阶段，真正经历概念的生成、发展和应用的全过程，从而达到感知概念本质，深化概念理解，理解概念生长，真正掌握概念。
关键词：概念学习；二次根式；内在逻辑；概念生长；教学设计
问题提出：
二次根式是在“平方根”的基础上，进一步研究二次根式的概念和性质，它是学习本章的关键，它也是学习二次根式的化简和运算的依据.实际教学中部分教师缺乏对教材和教学内容的深入研究和思考，课堂教学内容主要以知识演绎或“点”状分布，将学科基础知识以客观真理面目呈现在学生面前，要求学生理解、掌握和运用。对于出现的新概念，侧重于单纯记忆，或者重考点训练轻本质理解，学生无法理解数学概念产生的源头与流向，知识学习过于碎片化。
一、教材研读
二次根式就形式而言，是算术平方根抽象和扩展的一种代数式；就意义而言，是实数、勾股定理、函数、方程等知识的衔接点；就产生角度而言，无理数的出现相应的产生了无理式的概念，二次根式不过是无理式中最基本的一类.
章引言中从计算两个电视塔的传播半径之比的化简，引入课题.化简这个式子需要二次根式的有关知识，让学生感受到研究本章内容是源自实际需要，也为从代数运算的角度提出问题作了铺垫.
教材第一环节，设置了三个实际问题，引导学生根据已学的平方根和算术平方根的知识写出结果，并概括它们的共同特点，引出二次根式的概念，让学生感受到研究二次根式是实际的需要，二次根式与实际生活联系紧密.由实际问题出发，由具体到抽象，使得学生们的观察、分析、发现问题的能力得以锻炼.
教材第二环节，利用形式+条件给二次根式下定义，引导学生回忆平方根的意义和特征，让学生理解二次根式概念的内涵，逐渐脱离对孤立二次根式定义单纯的记忆，上升为思维操作.
教材第三环节，通过例1讨论了二次根式的被开方数中字母的取值范围问题，这类问题可加深学生对二次根式定义的理解.对于二次根式的定义，应侧重让学生理解“的双重非负性，”教学时注意引导学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特征，帮助学生理解这一要求，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判断.
教材第四环节，练习题第1题是利用二次根式解决实际问题，第2题是巩固运用二次根式的被开方数中字母取值问题，练习题具有代表性，典型性.
二、教学思考
在实际教学中，可能存在以下问题：
1.由于多数人认为本节课很简单，对本课的设计没有涉及数学概念产生的源头与流向，知识过于碎片化.
2.对二次根式的概念，侧重于单纯记忆，或者重考点训练轻本质理解.
为了解决以上问题，我们可以在课堂上做到：
1.精心备课，深钻教材，优选习题.在教学设计上适应学生的个别差异，通过分层次有梯度的例题安排，让学生在由浅入深的学习过程中，真正掌握二次根式的概念，并会确定二次根式中字母的取值范围.
2.教学活动的本质是一种合作，一种交流.学生是数学学习的主人，教师是学习的组织者、引导者与合作者，依据学生的年龄特点和已有的知识基础，本节课注重加强知识间的纵向联系，拓展学生探索的空间，体现由具体到抽象的认识过程，为后续学习打下坚实的基础，采用自主学习，合作探究，引领提升的方式，启发式、讲练结合的方法展开教学.
三、教学设计部分
（一）情境引入，生活感知
1.观看微课视频“根号的由来”.通过七年级对实数的学习，我们理解了算术平方根、平方根的概念．先通过一个问题复习一下.
2.学校决定将教学楼与办公楼之间的一块长为am，宽为bm的矩形空地进行改造.请你回答下列问题：
（1）这块空地的周长是多少？这块空地的面积是多少？
（2）如果这次改造总费用为x元，那么每平方米改造的费用是多少元？
（3）如果在这个矩形空地中规划面积为2m2、4m2、8m2、Sm2和16Sm2的正方形花坛，那么这5个正方形的边长各为多少？
（二）、类比迁移，概念建构
1.请尝试对上述问题中得到的数学式子进行分类.即对2a+2b，ab，x/ab，√2，√4，√8,√S,√16S进行分类.
2.组织学生分小组讨论，进行分类，让学生在问题解决中观察代数式的结构特征，在分类中碰出思维的火花．
3.思考√2，√4，√8,√S,√16S分别表示什么意义？它们有什么共同特征？
教师引导学生说出各式的意义，概括它们的共同特征：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．
（三）问题探究，深入理解
1．探究一：当x时怎样的实数时，√x-2在实数范围内有意义？
2.教师引导学生从概念出发进行思考，巩固学生对二次根式的被开方数为非负数的理解．
3.变式1：当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
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4.学生独立思考，小组交流。明白要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若式子为分式，应同时考虑分母不为零.
（四）反思归纳，课堂小结
教师和学生一起回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题：
（1）二次根式的定义是什么？
（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的被开方数中字母的取值范围是什么？
（3）二次根式与算术平方根有什么关系？
（五）知识链接，拓展延伸
1.类比√a，对于式子
3√a，你打算如何展开研究？
2.推荐阅读一篇文章：李邦河的《数的概念的发展》.
【教学点评】
章建跃博士说“代数式看外形，函数看对应关系的本质”，以本节课为例，在概念教学中要注意让学生感受了解概念的形成，探究其本质，学会应用.
（一）重视概念的形成过程
“归纳法是整个代数学的基本大法和基本功”，“归纳地去探索、发现，然后归纳地定义，再归纳的论证”是解决代数问题的基本过程.本节课中，从正数的平方根、算术平方根中归纳出研究对象二次根式，在通过具体实例归纳出二次根式的性质.教师在教学中，可先让学生回忆之前所学的内容，找到新知与已有知识经验之间的联系，得出具备的条件和意义，引导学生总结出二次根式的概念.二次根式的概念是着眼于被定义概念的本质结构而构成的相应模式，是形式化定义.通过具体的举例，让学生得出这个概念，学生对形式的接受需要在教学中体会其合理性或必要性，对条件的理解是理解概念本质的关键.
（二）探究概念的实质
数学概念是在研究现实世界的数量关系和空间形式的本质属性中形成的，在数学教学中，数学概念是数学推理、判断、论证的基础，是培养学生能力和发展核心素养的起点.以二次根式为例，在这个概念中a≥0就是必备条件，是二次根式关键，也是其本质所在.针对这个问题，教师可围绕这个必备条件利用练习题来进行辨析和巩固，设置了一识别，二举例三应用的方式让学生真正理解概念的实质，吃透概念.
总之，学生的数学核心素养是在长期的数学学习中点点滴滴逐步生成生长的，作为教师要重视概念教学，关注教学活动中让学生学会学习，让学生找到知识的生长点，进而形成生长节，最终长成生长树，为学生的生命进阶注入新的能量.
参考文献：
[1]卜以楼《生长数学：卜以楼初中数学教学主张》2018.6陕西师范大学出版总社
[2]章建跃陶维林.概念教学必须体现概念的形成过程---“平面向量的概念”的教学与反思[J]数学通报2010,49(1):25-29
[3]周杰基于“分步递进分层达标”教学主张下的学案设计与赏析中学数学初中版2018.427-28