邱军梁
浙江省杭州市萧山区瓜沥镇明德学校 311241
【内容提要】听了特级教师俞正强《三角形的底和高的认识》的教学后，给笔者很多感受与启示，决定模仿和尝试上这节课。也通过网络查阅了一些老师的优秀教学设计，结合各种设计思路，提出更为完善的教学方案，旨在构建学生心中的三角形的底和高的概念，并能较好地掌握画出各类三角形的高，培养更为丰富的空间观念。经过不断尝试，笔者以为要创设贴近学生生活、贴近学生已有知识和贴合三角形高的数学概念的生活原型，不断迁移转化，揭示三角形高的本质，从而帮助学生较为熟练和正确的画出三角形的高，培养了学生的空间想象力。
【关键词】几何概念 创设 贴切 生活原型
笔者在教学三角形底和高的概念时，往往是依据概念，咬文嚼字，最终使得学生理解这个概念，但是教学效果一般，学生总会出现种种错误：画的高与所给的底边不对应；从底边顶点出发，并与底边垂直；仅仅是与底边相交，但不垂直；画钝角三角形钝角边上的高，依然画在三角形里面。我也反思过自己的教学，没有觉得有什么不好的地方，直到有一次听了俞特的展示：
一、俞特传道：三角形高的概念教学需要生活原型
2013年十月，在杭州举办的千课万人的数学经典专场中，笔者有幸领略了特级教师俞正强展示的《三角形的底和高》的公开课，俞特的导入与众不同，引人入胜：
师在黑板上贴了一幅画，问这棵树有多高？
生：测量出树梢到地面的长度。
师：一阵风吹来，树歪了，现在有多高？
生1：树的高度是不变的！因为，树的高就是树梢到地面的距离。
生2：我认为是不变的，因为高是顶点到对边作垂线，顶点到垂足之间的距离才是高。
师：要是再歪点呢？
生3：还是不变的。
师在树的边上画了一个人。
师：现在你看看有没有变？
生4：变了。
生5：说不上来。
……
俞特正是在试图通过创设生活原型，来加强三角形底和高的概念教学，从而改变这种状况。笔者感到也是一个思路，可以尝试模仿一下，但其中也有一些值得思考的地方。
二、笔者悟道：三角形高的概念教学需要贴心、贴切的生活原型
反思俞特的教学实录，笔者看到有说出高的概念的学生（生2），但他显然还是停留在字面上，对于高的理解不透彻，只是课前预习相关内容罢了。可是学生（生3）的心目中还是觉得树有多高是不变的。俞特发挥教育机智，说：你看，这里假如站了一个人，你觉得这棵树高了还是矮了？
通过这样的引导，学生（生4）恍然大悟，原来老师指的是点到面的距离或者点到水平线的距离！隐藏的两个概念：一个是树高（树梢到树根部的长度，即树长）；一个是树实际离地距离（树梢到地面的距离）。也就是说，这两个概念在树与地面垂直时可以视为相同的，一旦倾斜，结果就是不同的，前者是两点间的距离，后者是点到地面的距离或点到地平线的距离。从学生（生5）的不明白中，笔者看到了这个实际问题的复杂性：有两点间线段的长度，有点到面的高度，有点到线的高！这么复杂，所以让部分学生转入了一团雾水中。但是俞特的用意是明显的，希望创设一个模型，能够贴近学生生活和学生已有认知，从而促进三角形底和高的概念的认识。
事实上，不难发现，俞特创设的生活原型并不十分贴切。因为，人站在这棵树边上，树被风吹斜引起这棵树的高度的变化，这不是三角形高的生活原型。
值得我们反思的是这棵树显然不是三角形的一条边，因为从一个顶点出发，三角形有两条边，如果三角形的另外一条边也动起来，那高依旧可以在三角形的内部，想突破钝角三角形钝角边上的高的教学难点，仅仅运用这棵树动态的过程，并不是很恰当。还有就是，请一个人站立到这棵倾斜的树的边上，这个过程不知道是真有这个设计，还是因为学生的冷场而引发俞特的教学机智表现在课堂。即使是有意为之，笔者以为这样呈现的也是以人为直角边的直角三角形，这对于锐角三角形和钝角三角形高的认识，帮助不大。
总之，这样子做，表面上是作出了高，这样很难帮助学生理解三角形高的本质和画高的技能。通过一系列的思考，笔者认为：借着俞特的思路，在教学三角形底和高的概念教学时，应该创设一个更为贴心、贴切的生活原型，来帮助学生建立概念的表象，熟知它的内涵和外延，提升学生对于高的本质特征的认识。
三、他人授道：收集和分析典型教学生活原型的使用状况
笔者去查找了很多相关的优秀的教学设计，把他们分成三类：身高为生活原型、斜拉桥为生活原型、纸上谈“高”。
（1）身高为生活原型，不够贴切
以人的身高作为生活原型引入的是以广州市荔湾区华侨小学简建锋为例（见附件1），先是问题引入：人的身高是指哪里？试图让学生来认识高的概念。接着安排学生自学，而后讲授三角形高的特例（屋顶人字架）为生活原型，讲解中间一根就是整个人字架三角形的高，然后说清楚什么是三角形的高，强调顶点和对边（底）作垂线段，接着尝试练习，画高。
可是人的身高在我们看来是不变的，站着的身高和躺在床上的身高是一样的。这和俞特的情境一对比后，笔者也忽然意识到：俞特在问树的高是否变化时，学生可能把树的高比作人的身高了，所以才导致学生一直以为不变的判断。屋顶人字架是典型的三角形高的生活原型，但是这个屋顶人字架已经不符合现在社会的发展了。还有几个学生看到过这个人字架？现在社会上的房子不都是钢筋混凝土结构，屋顶也多采用平顶屋了。总之，身高与树高的情境都很难建立一个典型的三角形高的数学几何模型，屋顶人字架虽然典型，但是由于脱离学生实际生活，最终使得教学效果欠佳。所以，笔者以为这类方法不值得提倡。
（2）斜拉桥为生活原型，不够贴心和贴切
以房顶或斜拉桥为情境的是以李平为例（见附件2），先是问学生知道房顶或斜拉桥的高度是怎样量出来的？而后李老师重点复习点到直线的垂线的画法，教师再演示画出三角形的高，边画边讲解三角形高的概念。教学设计从点到直线的概念迁移到三角形高的概念，是符合认知规律，做得非常优秀，可谓顺水推舟，水到渠成，顺理成章。
房顶作为生活原型上面已然解释不够贴心。然而，笔者注意到斜拉桥的情境也是欠贴心和贴切的。斜拉桥的高又是有歧义的，桥的高与桥梁的高是有区别的，而斜拉桥上的拉索和桥面组成的三角形的高既不是桥的高，也不是桥梁的高。这些似是而非的情境显然是不够贴切的。
（3）平行四边形变换三角形学高，生活原型缺失，有些纸上谈兵嫌疑
缺失具体生活原型的一类是以周珊珊为例（见附件3），先讲平行四边形、梯形的高，再通过课件的变换，揭示三角形的高和它们都是同底等高的。重在利用知识迁移的方式和利用信息技术中几何画板变换图形的便利，形成高的概念。
分析这种学习方法，重在找到三角形的高是哪一条，不是从概念的理解出发，笔者以为有失偏颇。往往导致学生在下面听得非常震惊，似有所得，可是缺少对概念本质特征的认识。一旦要运用高的概念时，往往不知所措，成为纸上谈兵的知识。
总之，第一类以身高为生活原型讲三角形的高，重点在解释高，而不是三角形的高，显得不是那么高明；第二类以斜拉锁桥为生活原型，所说的桥高并非是拉索和桥面组成的三角形的高，各个概念之间造成了不必要的复杂局面；第三类在教学过程中，应用几何画板，教师在上面展示，学生在下面想象，可谓用心良苦，体现了信息技术的优势的一面，但是这类教学显然没有一个有效的生活原型，去让学生认识三角形的高，形成一种纸上谈兵、眼高手低的知识构建，显然不是很妥当。
出现这些问题，关键是我们教师平时的教学常常用“拿来主义”，教材给什么材料，就用什么学习材料，教材成了固定不变的学材，因此，限制了教师创造性的发挥。这个问题，就要从各个版本的教学用书安排来比较，才能更好说明问题。
现在来看看不同版本的教材是怎么给出三角形的高的？
四、教材言道：统计和分析教材情境的质量
查找不同版本的教材，发现教材鲜有创设生活原型来学习三角形高的。特摘录如下：
版本 教 学 安 排 实 图 情境分析
北师大版 先用“动手做”的方法把平行四边形锯开拼成最大的长方形。最后用“认一认”的方法来揭示平行四边形和三角形的高。在四下年级安排了认识三角形，五上年级再来学习高。 动手做不能算是生活原型。
苏教版 先通过人字架的特殊的三角形的高。然后练习，要求量出已有高线的长度。安排在四下年级。 生活原型脱离高速发展的社会生活。
西师大版 在学习了三角形概念后，直接通过折一折揭示三角形的底和高。安排也在四下年级。
动手做没有生活原型。
人教版 学习了三角形概念后，给出高的定义，并有一个例图。安排在四下。 没有生活原型。
浙教版 直接给出概念和几何图形，以锐角三角形为例。 没有生活原型。
纵观五大教材的内容，对于“三角形底和高”这一知识的生活原型安排上均显示不是很重视，只有苏教版略有涉及，但是安排的也不是很恰当。这样的屋顶已经几乎绝迹，怎么能够让学生作为一个重点学习的学习情境呢?
过多的依赖教材，导致了各种教法的学材单一，不利于教师的创造性发挥，不利于学生丰富学材，导致了教材即学材的局面。俞特的高明之处就在于创造性的提供了独特的生活原型，引发了学生的思考，只是，生活原型似乎还有一些问题。笔者以为，寻找一个可以代表多种三角形高的生活原型来学习三角形的高，并能顺利过渡到与数学知识紧密相联系的数学模型是解决这节课的关键所在。
五、试图仿道：模仿俞特生活原型教学
笔者根据俞特的设计，进行了多种模型的探寻，试图通过多次不同的探索，找到更为贴切的，适合学生已有认知，并可以代表多种三角形高的模型。下面笔者呈现一种模仿俞特的生活原型进行教学，试图超越俞特的生活原型：
模仿一：试图以生活实物“吊车”作为生活原型，进行迁移和转化
受到俞正强特级教师的启发，我想到了这点。由于吊车在转动吊车臂的时候，无论如何，下垂的吊钩始终垂直于地面，所以这个要比俞特的模型要好，这是生活中常见的场景。可是，我后来觉得这么一根吊车臂能代表三角形吗？不能。它和俞特的模型类似，仅仅是不需要人站在边上罢了。如果要勉强说能代表三角形，那也只能说以吊车臂为斜边，吊钩和地平线为直角边，那也只是所有直角三角形的代表。看似先进，实无两样。还是同样有不具代表性的缺点。并且吊钩有时候晃动，引起不垂直的嫌疑，还有吊车车身也离地有一定的高度，不能很好的代表所有三角形。
六、豁然得道：以山高为生活原型，较为贴心、贴切
模仿二：试图以山高为生活原型，揭示三角形高的本质特征。
忙于教学工作，两次尝试都过了近两年时间，似乎僵持在那里动弹不得。终于，有一天，笔者想到了以山高为生活原型，揭示三角形高的本质特征，令笔者豁然开朗。
笔者是以立体的山为生活原型，测量山高为目标，以“开”山为过程，保持顶点不变为根本，最终探求出一个结论：无论怎么开山，边或变短，或变长，或消失，只要山顶保持不变，那山的高始终不变，也就是山高就是山顶到地平线的距离。从而迁移到平面上来，变成三角形的高是顶点到底所在直线的垂线段的长度。只要告诉我三角形的顶点和对应的底，另外两条边是有还是没有，是组成钝角三角形、直角三角形、还是锐角三角形，都没有影响，使得认识三角形的高回归到本质特征（点到线的距离）。当然，我还应用了一些其它方式方法作为学习的辅助手段，使得学生在画三角形的高的操作上也化难为易，轻松应对。我把我的这种方法归结为一个经验：借助生活原型和想象的翅膀，才能学好几何知识。下面请看我的教学设计片段，希望得到大家的批评指正：
（一）对比原型，初步想象，抽象得出山高的概念
师：问怎么知道瓜沥镇航坞山这座山有多高？（教师出示航坞山实景，如下图Ａ）
生：用尺子量一量。
师：怎么量？
要是给我尺子，我只能量出山脚到山顶的长度。教师出示意图Ｂ，画出红线。但是，这是不是山高呢？
图Ａ 图Ｂ
生：不是。
师：对，那样子斜斜的肯定不是。
师：那不能斜斜的，也就是要怎么样才是山的高？
生：竖直的。
师：竖直的就是数学里说的垂直。即从山顶到地平线的垂直距离。
师：下面我就拿山的图片来研究山的高，请你看这么几幅图，问它们的山高有变化没有？
生：没有。
师：对了，通过观察，我们看到，尽管山体（坡）发生了很大的变动，甚至地面有一些长短的变动，但是地面没有升降，这些山高还是不变的，因为山顶没有变动，地面没有升降的变动。因此，可以得出一个结论：只要山顶不变，地面不升不降，那么山的高度也不变。你知道量取哪条线的长度是山的高吗？
生：第四幅图。
师：试着量一量模型图的高是多少！
【设计意图：通过山高这个生活原型，从观察辨析入手，唤醒学生已有的知识经验，让学生在立体图形中体会高的概念现实存在，剔除无关因素，揭示本质特征，山顶到地面垂直距离就是山的高。同时初步感受到三角形的高与顶点和底有关系，无论是钝角三角形、直角三角形、还是锐角三角形，都没有关系。】
（二）抽象原型，逐步过渡，形成三角形高的概念
师：今天，我们来研究一下这些三角形的高！你知道它们的高吗？试着画画。
（图1） （图2） （图3） （图4）
教师巡视，看看是不是能够画出图1-3的高。直角三角形的直角边就是高的时候，只要指出高就可以了。
根据巡视情况交流。
师：我们把从顶点到对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的距离叫三角形的高，对边叫做底。
【设计意图：三角形的高从本质属性看就是从直线外一点到这条直线的距离，由此通过借助课件演示，直观想象，帮助学生建构与实现转化，让学生认识到画三角形的高只要找到对应底边，再转化成直线外一点到直线的距离的画作技巧就可以顺利完成作高。在课的推进中逐步完善认知，掌握方法。】
（三）想象迁移，动手操作，模仿画出钝角三角形的高
师：动手操作，试一试画出上图4的一条高。
生：画钝角三角形的高时，底不够长，该怎么处理？
师：想象地面（底）是可以无限延长的。
教师示范延长底的画法。
【设计意图：让学生在对山高的坚定的认识，转化为对三角形高的坚定的认识，通过根据定义画高，体会高的含义和不同三角形高的位置变化。实质上，我的意图是通过立体转化为平面，通过多种三角形不同位置的高转化为纯粹的概念本质，这样我们就能把复杂的问题简单化，这样有效引领学生运用转化思想解决问题，对于提升数学素养有着很重要的作用。对于将来学习立体几何，建立空间观念有着十分重要的作用。】
（四）高度抽象，形成技能，明白三角形的高跟两边没有关系
师：现在你学习了画三角形的高，我要考考大家，下面的一些三角形有各种情况，有些只能看到部分，请你从A点出发，画出下面一些不完整的三角形的高呢！
出示练习纸的练习题：
下面一些三角形的部分被遮住了，试画点A到对边的高。
师：通过这个练习，我们看到画三角形的高只要能够找到顶点和底，把一把尺子一边与底重合，另一把尺子的直角边靠着底边，逐渐移动，像电梯移动那样沿着直线移动，就能够最终找到顶点的位置，然后停下来，就可以画出三角形的高了。如果底边没有足够长，那就延长底边的长度。
注意，要能够熟练的摆好两把尺子的位置。
【设计意图：联系生活，让学生认识到相互垂直存在于生活中的方方面面，同时借助想象的翅膀，熟练的掌握一项画高的技能，解决了画高时无依无靠，往往大错特错的状况。也是对垂直概念的再次认识，提升技能技巧。】
（六）首尾呼应，解决问题，测量任意山的高
怎样利用我们今天所学，测量一座没有被开采山石的山的高度呢？
先测量出如图的三角形的三条边长（借助现在光学仪器），画出三角形和它的高，就可以得出三角形的高了。
【设计意图：首尾呼应，让学生应用所学知识，从理论上来测量一座真的山的高，可以根据三角形的稳定性，先测得如上图的三边长，再按照比例画下来，作高，就可得到一定比例的高是多少了。】
七、举一反三，内化领悟
从三角形底和高的认知教学中，我感到需要推而广之，在几何教学过程中，常常遇到一些概念的教学，往往既是重点，也是难点，如果一味地依赖教材，照本宣科，试图能够解决所有的教学上的难点，这是不现实的。要是随随便便创设一个生活原型来进行教学，往往会造成沟通交流的障碍，设计意图和教学效果得不到统一，这样，教学成功的可能性是比较小的。因此，笔者建议教育工作者能够精心选择一个贴近学生心灵、贴近学生生活，并能够与相关几何概念的数学知识贴合密切的生活原型，运用这个生活原型展开教学，这就能够大大提高教学效果，是我们平时教育教学中针对几何概念教学的一种行之有效的方法。
当然，想方设法去寻找一个概念所包含的生活原型未必是件容易的事情，这就要求我们能够根据贴心和贴切的两点要求去寻找，要看这个生活原型是否能够贴近学生的心灵、与学生的已有认知相契合、贴近学生常常看到或听到的现实生活，还要看是否能够与数学知识之间贴合的非常紧密，能够对于学生的认知起到桥梁和纽带的作用，甚至能够直接构建成为一个数学模型。
相信通过我们不断探寻、实践、反思、交流，相信最终一定能够在大家的努力之下，不断的创新，找到一些适合学生学习数学几何概念的生活原型，并且贴切地运用生活原型进行迁移和转化，提炼出与数学知识相符的数学模型，促进几何概念的学习，最终建立空间观念。
【参考资料】：
1、俞正强《三角形的底和高》 2013年10月 杭州浙大华家池校区“千课万人”展示课
2、简建锋教学设计 http://www.jdylxx.com/news/158/2014/3571.html
3、李平教学设计 http://www.jydoc.com/article/1706282.html
4、周珊珊教学设计 http://www.nhxx.net/Item/11990.aspx