宋倩倩
武汉市光谷第二十六小学 湖北 武汉 430012
《圆锥的体积》是一节经典的实验课。从许多的课例中不难看出，老师们都很重视数学基本活动经验的积累，花了大量的时间让学生做实验，从操作中得出等底等高时，圆锥体积是圆柱体积的三分之一，从而推导出圆锥的体积计算公式。
片段一：
出示一些圆锥实物、模具（铅锥、圆锥容器、橡皮泥圆锥），
师：这些物体都是圆锥形，你们有办法知道它们的体积吗？
（出示铅锥，教师手指图片）我们先来看铅锥。
生：可以用排水法。
师：是这样吗？（出示排水法的视频）哦，上升的这部分水的体积就是铅锥的体积。
（出示橡皮泥圆锥，教师手指图片）它呢？
生：捏成长方体或者正方体来求体积。
师：这是橡皮泥做的，转化成了我们学过的长方体，形状变了，但体积没变。
（出示圆锥容器，教师手指图片）
生：把圆锥装满水，倒入量筒，水的体积就是圆锥的体积。
师：水的体积是这个圆锥的容积，如果不计材料的厚度，水的体积就是圆锥的体积。
（示范倒沙）老师用沙代替水，沙装满了吗？装多了？怎么办？（刮一下）哦，要不多不少刚刚好。
师：这些办法各不相同，可是它们都用到了数学中一种很重要的数学思想——转化思想（学生回答），把圆锥转化成了我们学过的立体图形。
板书：转化
【设计说明】在导入新课时，充分尊重学生的已有知识基础，先出示一些圆锥形物体，唤醒他们的已有经验，此外还增加了圆锥容器的体积，在忽略材料厚度的情况下，容积等于体积，为今天的倒沙埋下了伏笔。
片段二：
（出示圆锥屋顶）你们打算用哪一种方法来求它的体积？
师：这些方法都有一定的局限性，（出示长方体等体积公式，边说边指）之前学习的长方体，正方体，圆柱都有体积的计算方法，圆锥有没有呢？如果有，会是怎样的？下面我们就来研究它。
师：根据原有的经验，长方体的体积与什么有关？（长、宽、高）正方体呢？
（逐一指着长方体、正方体、圆柱）那圆锥的体积与它自身的哪些要素有关呢？
板书：V圆锥
生1：与底面大小有关。（出示实物高相等，底面不同的圆锥比较）
底面积越大，体积就越大。
生2：与高有关。（出示实物底面积相等，高不同的圆锥实物比较。）
高越高，体积就越大。
师：看来圆锥体积的确与它底面积和高有关。到底是什么关系呢？
板书：V圆锥？Sh
【设计说明】此时借用了长方体、正方体和圆柱的学习经验，发现圆锥的体积受它的底面积和高的影响，究竟有怎样的关系呢，自然而然成为了下一个要研究的内容。
片段三：
师：你们准备怎样研究圆锥体积与它底面积和高的关系呢？
排水法：
（PPT出示排水之后的状态）用量筒测量出了体积，接着怎么办？（再测量底面积和高）然后呢？哦，再去比较它们三者之间的关系。
这种方法行不行？（行，表示肯定）既需要测量，还需要计算，大家觉得怎么样？（PPT呈现：测量、计算、比较。）（生：麻烦）
切拼法：
生：像圆锥那样平均切开，拼成一个我们学过的图形，求它的体积。
（课件演示切的过程，实物演示拼好的图形）
师：我们发现不容易拼成我们学过的立体图形。
师：有没有一种更直观的方法能让我们知道圆锥体积与它底面积和高的关系？
生：我想到了倒沙的方法，把圆锥容器倒满沙，往圆柱里倒，看几次能倒满。
（出示倒沙图）
师：我发现你是借助了圆柱来研究，为什么会想到找圆柱来帮忙呢？
生：圆柱和圆锥的底面都是圆形，所以想到了圆柱。
哦，它们形体相同，我们尝试把圆锥的体积转化成圆柱的体积，大家是这样想的吗？（板书：V圆锥——V圆柱）
【设计说明】在复习导入时有了对圆锥容器的体积的研究，加上圆柱和圆锥的形体有相似之处，于是想到了倒沙（水）法，将圆锥容器倒满沙，往圆柱里倒，看几次能倒满。
每一步的用与不用，都是有根有据的，所有的联想都是建立在合理的范围之内。
片段四：
师：那选什么样的圆柱呢？
生：我打算选等底等高的圆柱和圆锥。
师：为什么呢？生说理由。
师：大家选择相同，可是理由不一样，到底是怎样的呢？让我们先来实验，再来分析。老师为每组准备了一对圆锥和圆柱，有的等底等高，为了对比实验，还有不等底等高的，实验过程中请大家思考：
①你们组是一组怎样的圆锥和圆柱？
②通过实验，你们发现这组的圆锥与圆柱体积之间有怎样的关系？
小组实验，教师巡视指导，全班轮流汇报。
【设计说明】通过学生的交流发现，选择等底等高的圆柱只是模糊的想法，说不清楚原因，但作为教师，我们深知这不就是科学研究中常用的控制变量法吗？并且只拿一种规格的等底等高圆柱和圆锥还不具有广泛的代表性，还得拿出等底等高但大小不同的多组圆柱和圆锥来实验，以达到实验数据的丰富积累。
片段五：
师：我发现刚才这些小组的圆锥圆柱，虽然等底等高，但大小不同，却都得出了相同的结论，你们发现了什么？
生：等底等高的圆锥和圆柱，圆锥的体积是圆柱体积的1/3。
（板书：等底等高时，v圆锥=1/3v圆柱）
师：这是一类实验，刚才还有两个对比实验，请你们来说一说。
生：我们组是不等底等高的，我倒了4次，圆锥的体积是圆柱体积的1/4、1/9。
（板书：不等底等高时，v圆锥=1/4v圆柱）
师：如果还有更多不等底等高的器材，会怎样？（得到更多的结果）
板书：……
师：你们会选择哪个实验结论来计算圆锥的体积公式呢？
生：v圆锥=1/3v圆柱
（将“等底等高时，v圆锥=1/3v圆柱”移至主板书）
师：（手拿圆柱圆锥）等底等高时，怎样知道圆锥的体积？
（请举手的学生拿着圆柱圆锥上来讲）
生：用圆柱的体积乘1/3。
师：圆柱的体积等于？
生：圆柱体积等于s×h。
师：（指着圆锥和圆柱的底面积）圆锥的底面积是？（圆柱的底面积）
（指着圆锥和圆柱的高）圆锥的高是？（圆柱的高）
所以圆锥的体积就是1/3底面积×高。
师：我们是把圆锥转化成了圆柱（手指板书），什么样的圆柱？（板书：“=”）因为圆锥体积是圆柱体积的1/3，而且圆柱体积等于s×h，所以圆锥的体积（手往上指）等于1/3底面积乘高。（完善板书）
我们得出了圆锥体积的计算方法，我们一起来大声读一读。
PPT显示：出示v=1/3sh。
师：这里的s表示什么？（圆锥的底面积）（PPT显示：圆锥底面涂色）
预设：s表示圆柱的底面积。
师：有没有不同意见？为什么？
生：因为这是圆锥的体积计算方法。
师：这里的h表示什么？（圆锥的高）（PPT显示：圆锥h显示）
师：那sh是什么呢？
生：是和圆锥等底等高的圆柱的体积。（PPT显示：和圆锥等底等高的圆柱）
师：为什么要乘1/3呀？
师：我们刚才还做了对比实验，为什么圆锥体积不是1/4sh呢？（手指副板书：不等底等高时，v圆锥=1/4v圆柱）
生：因为这里圆锥和圆柱不等底等高，sh算出的不是这个圆柱的体积，所以乘以1/4不是圆锥的体积。（教师和学生解释的时候都带着学具）
师：因为我们要研究的是圆锥体积与它的底面积和高之间的关系，所以我们选择等底等高的圆柱更方便。（指着板书说）
师：其实这个公式数学家们已用了更严密的方法进行了论证，我们通过一个微课来了解一下。
（微课：切割法，渗透极限数学思想）
【设计说明】实验结束并不意味着研究结束了。通过两种结论的对比，我们不难发现，研究圆锥体积时，选择等底等高的圆柱更方便。
近年来，动手实践、自主探究和合作交流成为了数学学习的重要手段，在《圆锥的体积》一课重构的过程中，我深深地感受到思辨的重要性，不仅有教师的理性思考，更有学生的深入思考。只有教师真的愿意退居幕后，才能换来学生主体地位的彰显。