锜毅玲
厦门市集美第二小学
【摘要】《鸡兔同笼》是人教版《数学》四年级下册数学广角的教学内容。这节课的教学拓展了学生视野，采用多种方法解决鸡兔同笼问题，锻炼了学生的数学思维。激趣导入进行教学，解读鸡兔同笼所蕴含的数学信息，准确把握解决问题的解题思路和策略，渗透化繁为简的数学思想，采用作图，数形结合，使抽象的解决问题教学直观化、形象化、简单化。灵活施教，以形辅数，数形合一，帮助学生体会解题策略的多样性，建立数学模型。
【关键词】解决问题 鸡兔同笼 化繁为简 数学模型
解决问题是数学与现实生活联系的桥梁，也是培养学生核心素养必不可少的载体。任何学科包括数学对于学生核心素养的培养都有责任和义务。解决问题蕴含着知识与方法，是数学知识与数学方法的有机结合。备课中研读教材，深挖教材，充分探究题目中的数学思想，找到合适的问题解决的方法，并最终引导学生真正理解问题的真谛，触类旁通，形成建模，是每一位教师所追求的教学目标。学有法，但无定法。那么，在学习数学的道路上，如何通过解决问题，感受其中所蕴含的数学知识，领悟数学思想，利用多种解题思路帮助学生建模，发展学生的数学素养就显得尤其重要。今天借助《鸡兔同笼》一课探讨如何让学生在解决问题的教学过程中，充分利用解题策略的多样性，帮助学生感悟数学模型思想的创建过程。
一、创设“解决问题”的生活情境，激发学生学习的兴趣
“鸡兔同笼”出自一千五百多年前的古代数学名著《孙子算经》，人教版教材主要呈现了列表法和假设法两种解题的思路。但在教学过程中，怎样结合学生已有的知识经验，有效的开门见山导入或者创设跟生活实际贴近、具体生动的情境，来引起学生的探究兴趣和欲望，让学生发自内心想学，从而在教学活动中积累经验，生成知识，提升解题能力值得我们去研究。
（一）收集素材，激趣导入
在课前，善于发现学生身边的数学，挖掘现实生活中的数学现象，找准突破口进行有效设计。在执教《鸡兔同笼》一课中，利用热播综艺节目《奔跑吧兄弟》遇到的密室逃脱问题情境，恰好是本节课的原题，顺势引出课题。课中，以视频动态呈现，调动起学生的兴趣，并以此为契机，展示完整的题目——“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”。让学生帮助跑男的成员们逃脱密室，挑战解决数学问题，极大地调动学生的主动性和积极性。
（二）化繁为简，领悟思想
解读题目，学生大都无从下手，深度挖掘题目中隐藏的条件，鸡和兔子的脚的只数，猜想答案，数学是讲道理，单凭猜的可不作数。但由于数据对学生来说有点大，不易探究，从而引出化繁为简的数学思想，也就是把原题目改编成简单的数据来探究。替换题目中的数据，使之转化为“从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚”，同样求解鸡和兔分别有几只。由难到易，再次唤醒学生的主观能动性，充分让学生思考，摸索出解决鸡兔同笼问题的数学方法，做到“心领神会”，再反过来应用于原题。
二、探究“解决问题”的解题策略，领略自主学习的乐趣
问题解决的最终答案，也就是数学的事实真相，其实来源于已有知识经验或者数学信息的数学猜想，再用符合逻辑规律的数学事实依次进行推理验证。在探究数学事实的过程中，培养学生自主学习的能力，锻炼学生的思维活动，积累数学活动的经验，感受数学学习的乐趣。
（一）交流合作，引导探究
当然，在自主探究的过程，学生交流必须带有目的性，否则课堂效率会降低，导致数学思维锻炼效率低下，因此需要教师在学生自主探究过程加以引导。这样一方面既可以使学生在交流中碰撞出思想的火花，又可以避免擦枪走火，让学生在交流中寻找到自己最容易懂得的方法，分享自己的推理过程。另一方面，老师可以适时指导学困生，引导鼓励让学习有困难的学生敢于交流，勇于表达想法，理清思路，感悟解决问题所蕴含的思想方法，学生只有通过自己动手操作或者计算，才能验证自己的猜想，理解其中所包含的数学思想和方法，获得学习经验。
1.列表法
有时，刚接触到一些实际问题，往往一开始要建立正确的数学模型是相对较难的。
在关键时刻给学生适当提示，比如学习单里的一份表格，让学生在讨论交流的过程中可以填一填，换一换，画一画等方法进行探究记录，到底分别要多少只鸡和兔才能刚刚好？学生自主尝试，汇报，那么学生在逐一猜测验证的过程中可按一定的顺序填写表格，而像这样用表格列举出来，在数学上我们就称为列表法，如下表：
鸡/只 8 7 6 5 4 3 2 1 0
兔/只
脚/只
借助上面这张表格，将所有可能性一一列举出来，对比研究，不难发现鸡有3只，兔有5只为正确答案。但是，通过学生的填表操作，只要数据变大，列表法的解题策略就显得复杂化，因此，一些学生从表格收到启发，对解题策略提出优化，在一定程度上为数学建模奠定了基础。
2.画图法
画图作为一种辅助性教学手段，在这个环节发挥着重要作用。通过图，学生清晰地看到数据的变化过程，知道每把一只鸡换成一只兔子就会增加2只脚，这样数据变化的来龙去脉就一目了然，其实也是运用了数形结合的数学方法，直观操作也帮助学生理解复杂数量关系背后的本质，使形象思维与抽象思维相互发展，让解题过程更加直观化。具体作图如下：
采用直观的作图方法解决问题，发展学生的形象思维，感悟数形结合在数学解题策略的作用。但同样一旦数据变大画图就会变得繁琐，适用性就会降低，因而画图法也是一种实用的解题策略，帮助学生理解，又为下面的假设法做好铺垫，承上启下。
3.假设法
爱因斯坦曾经说过，“美，本质上终究是简单性。”其实，数学也追求简单美，所以产生了许多数学符号，公式计算，简单明了。学生在解决鸡兔同笼问题经历了列表和作图的过程之后，认识到方法的局限性，那么进一步探究和优化解决问题策略的必要性就突显出来了。积累经验，不难理解得出假设法，假设全是鸡或者假设全是兔，求出最终的答案，两种解决策略如下：
（1）假设全是鸡，先求出兔子的只数，可以简称设鸡求兔。兔子的只数=（脚的总只数-头的总数×2）÷（4-2），列式即：，最后，鸡的只数=头的总数-兔子的只数，即：8-5=3（只）。
（2）假设全是兔，先求出鸡的只数，简称设兔求鸡。鸡的只数=（头的总数×4-脚的总只数）÷（4-2），列式即：，最后，兔子的只数=头的总数-鸡的只数，即：8-3=5（只）。
当数字比较大一些时，假设法的优势就凸显出来了，数学追求的简单美的目的就达到了，通过解决问题让学生体会假设法和列表法、作图法之间的区别，感受各种方法之间的联系和优缺点，掌握假设法是本堂课的重点。经历上述列表法、作图法过程后，让学生在用假设法解决“鸡兔同笼”问题的过程中理清解题策略的思路也是这节课的难点。
在积累解决问题的活动经验后，内化生成自己的解题策略，再追溯《孙子算经》里的原题去应用，解决问题，锻炼学生的数学思维，拓展思路。在以后的生活中遇到其他“鸡兔同笼”问题的时候，能够灵活运用方法解决实际问题，建立数学模型。数学建模，简而言之，就是一种通过解决问题获得的模型方法，它建立在实际问题和数学定律或者原理之间，使实际问题能够用数学语言或者数学符号进行表达，构建关系。数学模型也是数学思维过程的体现，具有高度概括化和形式化的特征。
三、建立“解决问题”的模型思想，体验触类旁通的快乐
练习是新课教授之后解题策略的巩固，是对知识的补充练习和拓展延伸，也是数学模型的应用。学生能应用一定的解题策略来解决“鸡兔同笼”的原题，概括得出一般的问题解决的策略。然后，学以致用，做到举一反三，解决如“龟鹤问题”或是“租车问题”此类题型。最终再点题，1500多年前的古人通过什么方法来解决鸡兔同笼问题，拓展介绍抬脚法，让学生能够融会贯通解决问题，这节课学生的学习价值就体现出来了，既帮助学生建模，又让学生获得成功的数学体验。
在本节课中，借助创设情境导入，调动学生探索解决问题的兴趣，通过小组合作的交流与分析，课题练习的综合与运用，不仅让学生掌握了基础知识，训练了基本技能，而且感受了数学与实际生活的联系。有效地教学解决问题的方法，让学生在解决问题的过程中感悟数学思想方法，通过一道问题解决，多种解题思路和多方向的解题方法，拓展学生的思维，最终提炼成自己的解题策略，达到能够建立数学模型应用于实际生活中遇到的问题的教学目标。
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