王德贵 向菊萍
浙江省温岭市石桥头镇中学 317507
浙江省温岭市箬横镇中心小学 317507
【摘要】二次函数的最值在实际应用中常与自变量的取值范围密切相关，是近年来常考的中考数学疑难问题，根据二次函数对称轴的位置，可分为对称轴在取值范围外和在取值范围内两种情形，通常解决此类问题的关键是根据点到对称轴距离的远近来确定最值。这类题充分体现了对数形结合、分类讨论等重要思想方法的考查。
【关键词】二次函数；条件最值；教学
二次函数
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（a≠0）在自变量x取值范围内的最值是近年来常考的中考数学疑难问题，是二次函数教学中的难点。根据二次函数对称轴的位置，可分为对称轴在取值范围外和在取值范围内两种情形，通常解决此类问题的关键是根据点到对称轴距离的远近来确定最值。在教学初期常常利用函数图像进行分类讨论，帮助学生突破难点加深理解。
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自变量x在取值范围m≤x≤n上的最值需要判断二次函数对称轴x=－
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的位置，一般可分为对称轴在取值范围外和在取值范围内两种情形：
1.对称轴在取值范围外：
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注：a＞0时，到对称轴距离越大的点对应的函数值越大；a＜0时，到对称轴距离越大的点对应的函数值越小。
下面就近年来两道中考题为例加以说明。
例1.（2018年浙江省舟山中考）已知，点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1
图象的顶点，直线y＝mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．
（1）判断顶点M是否在直线y＝4x+1上，并说明理由．
（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．
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【分析解答】（1）（2）略。
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例2．（2019年浙江省台州市中考）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．（1）求b，c满足的关系式；
（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；
（3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．
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综上所述，求二次函数的条件最值可简要叙述为：若抛物线顶点在取值范围内则顶点为最值点（开口向上为最小值点，开口向下为最大值点），离对称轴较远的端点为另一个最值点（开口向上为最大值，开口向下为最小值）；若抛物线顶点不在取值范围内，取值范围对应的两端点的值一个为最大值，另一个为最小值（开口向上，离对称较近的端点为最小值点，离对称轴较远的端点为最大值；开口向下，离对称较远的端点为最小值点，离对称轴较近的端点为最大值）。