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通过包装彩绳问题教学落实数学建模核心素养

发表时间：2021/3/26 来源：《教育研究》2020年12月作者：黄高湧

[导读] 数学建模要用真实情境，让学生体验到数学来源于生活，认识到知识和技能在未来的学习和生活中的价值，从而在数学与问题情境的有效互动中激发学习数学的兴趣，提升了学生的数学核心素养，培养了学生用数学建模解决实际问题能力.

龙湾区教师发展中心黄高湧 325024

1 数学建模《包装彩绳问题》教学内容
《包装彩绳问题》选自《普通高中数学课程标准（2017年版）》的附录2教学与评价案例，属于对数学建模素养评价不同水平表现的一个案例.内容包括购买礼盒的生活场景，售货员的捆扎方式，以及他提出这样的捆扎不仅漂亮而且比一般的十字捆扎包装更节省彩绳.（如图）

        这是立体几何中线段长度问题，往往需要借助直观才能论证的问题，学生对售货员观点的验证的两种处理方法反映数学建模素养的不同水平；
        2 数学建模《包装彩绳问题》教学设计
        2.1教学基本流程
        实际问题数学问题数学模型求解模型检验模型模型应用
        2.2留意身边的数学问题
        问题1 买一份精美的礼物，售货员用“彩绳”对礼盒做了两种方式“捆扎”,如图，请
        问你熟悉这两种捆扎方式吗？测量这两种捆扎方式的彩绳长度并进行比较.

        设计意图：（1）让学生感知生活中实际问题，数学建模的核心是来源于生活，又用数学思想方法解决问题，最终回归现实生活.（2）数学实验活动中非常重要的过程就是学生动手实践，通过动手捆扎礼盒亲身体会并测量两种捆扎的绳长，让学生通过实验捆扎探究彩绳长度问题更加直观的感受空间的彩绳，只有直观上的充分认识才能建立合理的空间想象，从而为建立数学模型做好铺垫.同时获得数据为引出问题、归纳、猜想做好材料准备.（3）学会收集生活中的数据信息，并学会用数学思维去分析数据，获得数学问题，通过设问将特殊长方体的结论推广到一般长方体，使得问题更加数学化.
        2.3将包装彩绳问题转化为数学问题
        问题2 对任意一个长方体礼盒，同一组对面上的“对角”捆扎和“十字”捆扎哪一种捆扎用绳更短？
        设计意图：数据从实验中来，而且对于任意一个长方体已经不是能全部实验能够完成的，必须经过数学严格的证明，从而把社会问题转化为数学问题，这里最核心的就是用数学语言表示问题，也就是要建立数学模型。
        2.4建立立体几何的数学模型
        问题3 设长方体长、宽、高分别为x,y,z,且，设十字捆扎最短绳长为L,求绳长L.

        十字捆扎方式的“最短”绳长（扎紧绳子再也抽不动）L=2x+2y+4z
        思考：十字捆扎方式的十字打在另外两组对面上的捆扎方式，参数如何变化，最短绳长是多少？在z最小的情况下，哪一组对面上的捆扎方式绳长最短？
        设计意图：(1)最短的直观感知转化为数学理解，为求解绳长做基础.(2)不同组对面的捆扎方式的绳长，为了引导学生思考参数改变对结果的影响.
         问题4 设长方体长、宽、高分别为x,y,z,且，设对角捆扎的最短绳长M,求绳长M.

        问题5 如图，如果固定E,G两点，那么动点F在的何处时EF+FG最短。（展平后E,F,G三点共线时，两点间线段最短（两边之和大于第三边））

        设计意图：这是教学的难点也是重点，如何突破难点是关键.利用学生原有的直观认知深度分析“相邻”两个面的展平后能够得到“2条”线段，如何使“2条”线段最短，那就是通过直观经验两点间线段最短,通过实际的直观感知彩绳最终是一条的，而常规六个面的展开是分散的3条折线，那么如何处理？进而引导学生直观展开的思维提升，每“相邻”两个面的展开能够得到“2条”相连的线段，最终实现8条线段沿着交线相邻两个面的连续展开，从而突破难点，从而提升学生直观想象能力.


        设计意图：方法1中引导学生将8条线段拼接一起，相邻两个平面沿着交线连续展开可以实现8条拼接一起，实现难点的突破，学生自然而然想到的是通过勾股定理求得M的长度。也有学生展开了其中4个面而停滞不前，可能是再展开则上底面用了两次，与学生原来的认知（长方体展开图是六个面，每个面用一次）是矛盾的，首先肯定他的想法是好的，已经从2条线段突破到了4条线段，再次总结引导他的想法通过相邻的线段在同一平面内,继续把平面继续按相邻两个面沿着交线展开，从而解决问题，也是培养学生勇于大胆尝试，不断进取的数学精神.
        问题6 最短绳子与点E在棱上的位置有关吗？点E在棱上任意位置都可以吗？
设计意图：在求得绳子长后进一步研究E点位置与绳长关系，从而确定对角扎紧情况下，最短绳长是一样的.以及E点要控制在一定范围，否则就无法实现对角在底面的捆扎,让学生体会数学建模从实践中来回到实践中去.


        设计意图：将对角捆扎每一线段都构成直角三角形，目的是将直角三角形的边长与长方形的长宽高联系起来，其所有直角边之和就是L长度.或将每一线段看成向量进行正交分解，所有分解后的向量同向之和的模就是2x+2z与2y+2z,从而两边之和大于第三边.在数学建模的求解模型中，不断激发学生思考动力，运用各种所学知识达到建模，促进数学知识、能力的灵活运用.
        3 数学建模教学实践反思
        数学建模教学教师教为主导转变为学生学为主导，需要转变教学模式，数学实验的核心恰好需要学生主动学数学、用数学，积极参与数学建模中的动手实验环节，在体验中感知，在体验中发现问题，提出问题、分析问题，并在建立模型与求解模型中自主独立思考解决问题，给学生自己运用所学的数学知识、方法、思想解决问题.
        数学建模要用真实情境，让学生体验到数学来源于生活，认识到知识和技能在未来的学习和生活中的价值，从而在数学与问题情境的有效互动中激发学习数学的兴趣，提升了学生的数学核心素养，培养了学生用数学建模解决实际问题能力.