1浙江省杭州市萧山区劲松小学 1 顾国珍 （311200）
2浙江省杭州市萧山区夹灶小学 2李建良（311200）
3浙江省杭州市萧山区所前二小 3邵汉民（311200）
【摘要】“圆的面积”一课是小学阶段图形面积的综合性学习内容,在推导圆的面积公式的过程中,不仅要用到原有的思想方法、知识经验，更要用到更为抽象的极限思想，转化过程也更加复杂。为了更好地开展教学活动，笔者在学生中开展了教学前测，并在前测的基础上进行了有针对性的教学设计。在教学实施的过程中，则采用课堂观察的方法对教学效果进行定量和定性的评价，以此了解学生的真实学习过程，促进学生的有效学习，改进教师的教学理念和方法。
【关键词】：圆的面积；前测分析；设计与教学
一、教学前测及结果分析
（一）前测对象、方法及内容。
本次前测对象为我区XX镇小六年级（2）班学生51人，采用无记名问卷调查的形式。为了保证测试结果的真实性，要求学生在10分钟内独立完成，教师不作提示，学生之间也不作相互交流。
前测内容包括这几点：一是圆的周长公式回顾与圆的面积公式的猜想，包括两个小题；二是圆的外切正方形和内接正方形的面积计算及圆的面积估算，包含三个小题；三是圆的面积公式的尝试运用以及圆的面积转化过程的体验，包含三个小题。
（二）前测结果统计与分析。
依据前测目标及主要内容，笔者从以下几个方面对调查结果进行统计与分析。
1.对圆的面积公式的了解。
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在此，我们以圆的周长公式作为铺垫。一方面是了解学生的已有认知，另一方面也期待学生能够在对圆的周长的认知基础上，能对圆的面积公式作出适当的猜想。调查显示，已有92.16%的学生能够选择正确的圆面积计算公式。
2.对圆与外切正方形、内接正方形的关系的理解。
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从第3、4两题中可以看出，74.51%的学生对两个正方形的面积关系已经有了充分的理解，并能根据大正方形的面积得出小正方形的面积，这对猜想圆的面积（范围）有重要的意义。第5题估算圆的面积时，50.98%学生是根据外切正方形的边长算出圆的直径及半径，然后运用圆的面积公式计算出准确值；19.61%的学生则通过圆与大小正方形的面积关系，估算出圆的面积在8cm2与16 cm2之间。
3.对圆的面积公式的运用与理解。
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第6题要求学生尝试计算出图中圆的面积（r=4cm），56.86%的学生能根据圆的面积公式，列出算式3.14×42=50.24cm2求得正确答案，这与第7题猜想圆的面积时采用计算方法得出结果的人数（50.98%）基本相当。但这两者都与表1-1第2题关于圆的面积公式的了解程度的调查结果（92.16%）均相去甚远。另有5名学生（9.80%）在计算时误将周长当做面积。第7题要求学生根据图示，理解从圆到近似平行四边形的转化过程。在这个问题中，13.72%的学生仅看到表面现象（平行四边形或长方形），不知道这样做的含义；仅3.92%的学生准确地知道这样做的确切含义；82.35%的学生甚至没有作答。第8题中，学生在看了上一题圆转化为近似平行四边形的过程之后，原本能计算出圆的面积的学生由56.86%骤降到21.57%。
二、前测分析对教学的启示
至此，笔者对本文开头提出的两个问题中的指向学的问题的结果有了一定的了解，结合上面三个方面，有以下两个方面的教学启示。
（一）要充分展示圆面积公式推导的过程
从统计结果来看，按人数多少，处于了解层次的最多，处于运用层次其次，处于理解层次的最少。学生对于圆面积的公式的了解途径可能有文本阅读、与他人交流、自主猜想等多方面。50%左右学生能够根据已经了解到的公式计算圆的面积，说明对公式的运用问题相对较小。而学生对于圆的面积公式的推导过程的理解情况存在较大的问题，是本堂课的教学重点。
(二)要努力构建圆与其它平面图形之间的联系
学生对于圆与其它图形的关系理解水平较低。由于圆有别于其它平面图形，因此，学生往往更多看到它们之间的区别，而忽视了它们都是平面图形，其面积存在着某种联系。这样不仅影响圆与其它图形之间的转化，也会影响平面图形面积体系的构建。
因此，对上文提出的第一个问题“面对更加复杂的问题以及新的思考问题的角度，学生会作出何种反应？”，笔者认为，在教学开展之前，大部分学生不论对圆的面积及其与其它图形的面积关系的理解，还是圆的转化，都表现为毫无头绪，不知所措。因此，在教学中，有必要帮助在圆与其它图形之间建立联系，并在圆与所要转化的目标图形——近似平行四边形之间，搭建一座桥梁。
三、教学目标及教学设计分析
（一）教学目标。
根据本课时的教学内容、学生的学习基础，笔者制定了以下教学目标：
1.通过观察、猜想等方法估算圆的面积，确定圆面积的范围，将圆初步转化成近似正多边形；运用操作、对比等方法将圆进一步转化成近似多边形，推导出圆面积的计算公式。
2.运用圆面积公式，以及圆面积与半径的关系，解决实际问题，加深对圆的面积计算方法的理解。
3.体会转化、极限等数学思想，感受数学文化的魅力，培养学生抓住本质看问题的习惯。
（二）教学设计及其意图。
根据教学目标，笔者进行了有针对性的教学设计。
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该教学设计重点关注了以下几个方面：
1.注重在比较中沟通圆与其它图形的面积之间的关系。
图形的面积可以用单位面积进行度量，圆的面积也是如此。因此，笔者以解决问题的形式，引导学生探求不同图形面积的共同点，将圆的面积计算方法纳入到面积计算的整体结构中。本环节包含两个目标：一是借助网格，利用数方格的方法估算圆的面积。二是借助圆的外切正方形和内接正方形，使学生直观地体会圆的面积与外切正方形、内接正方形的面积之间的关系，并据此对圆的面积进行估算。具体如右图。
2.注重在不断精确的过程中渗透数学思想方法。
圆的面积这一教学内容承载着许多数学思想方法。除了学生在学习多边形面积的过程中已经有所体会的转化思想之外，还有一个重要的思想，即极限思想。在圆的面积计算公式的推导过程中，这一思想可以分为两个步骤，首先是逐步逼近，然后是无限逼近达到极限。对于前者，学生具备了一定的经验，而对于后者，需要在前者的基础上，借助空间想象而进行。
3.注重在动手操作的过程中积累数学活动经验。
将圆无限分割，并逐个计算每个近似三角形的面积以及它们的和，这种做法对于小学生而言并不现实，没有相应的方法支持，因此，必须引导学生与原有的平行四边形转化成长方形这一类的经验相联系，对圆进行整体转化。因而在教学设计中，给出如下图所示的16等分圆，要求学生利用学具（带磁性的十六等分圆片）在白板上摆一摆，将它转化成已知图形。同时，请学生思考转化后的图形与圆有什么关系，记录在白板上，尝试推导出圆的面积公式。在完成操作与推导后，请若干小组将自己的操作结果与结论进行展示，在讨论与评价的过程中，得出圆的面积计算公式。
总的来说，在圆的面积一课的教学实践与研究过程中，笔者对学生的认知水平有了新的定位，对圆及其它图形的面积进行了较为全面的比较与梳理，对如何开展教学设计有了新的想法，对如何开展教学实践与反思产生了新的理解。同时，这一切也离不开一系列深入细致的定性与定量研究，这个过程帮助我们提高了教学研究的水平，对促进教师专业成长起到了重要的作用。
参考文献：
[1]邵汉民著，小学数学史料与数学教学.科学出版社，2014.3
[2]邵汉民，以类比的思想推导圆的面积计算公式.中小学数学,2011.1
[3]李士錡.PME：数学教育心理[M].上海：华东师范大学出版社，2001.