骆旗
广州工商学院基础教学部 广东 佛山 528138
摘要：在高等院校的基础课线性代数中，行列式的概念与性质以及计算，在线性代数这门课程中占有非常重要的地位，其中行列式性质是首先必须要掌握的重要理论，因为它是计算行列式的关键，如何灵活运用行列式的性质，巧妙而简洁地计算出行列式的值是学习线性代数的难点之一．本文简述行列式的概念与性质，着重介绍如何灵活运用行列式的性质，巧妙而简洁地计算行列式。
关键词：行列式性质；线性代数； 行列式的计算
一、行列式的概念
（4）根据定义求阶行列式，显然十分麻烦，但对于低阶（一般）行列式或零元较多的阶行列式，根据定义计算有时还是较方便的。比如上三角形的阶行列式的值就等于主对角线元素的乘积。
二、行列式的性质
我们将学习的行列式的性质简单的归纳如下：
性质1（转置）行列式与它的转置行列式相等，即 ．
注：这个性质告诉我们，行列式的行与列处在相同的地位，即对于行列式的行成立的性质，对行列式的列也成立。这样，下面我们一般只讨论对行列式的行成立的性质
性质2（零值）( 1) 若行列式中有一行元素全为零(简称为零行)，则行列式的值为零;
( 2) 若行列式中有两行对应元素相同，则行列式为零;( 3) 若行列式中有两行对应元素成比例，则行列式为零．
注：性质2简称为零值性质，它告诉我们，如果行列式有零行，则值为零。如果有两行相同，或成比例，则值为零。
性质3：（初等变换）( 1)（互换）交换行列式的两行，行列式的值变号；( 2)（提取）行列式某一行的公因子可以提到行列式的外面，即将行列式的某行所有元素都乘以常数k，等于将k乘以该行列式;( 3)（倍加）将行列式某一行的倍数加到另一行上去，行列式的值不变．
注：因为性质3的互换、提取、倍加三条类似于矩阵的初等变换，所以，我们称之为行列式的初等变换性质。它是计算行列式最常用的性质之一。
性质4（拆开）若行列式某一行元素都是两数之和，则此行列式就等于两个行列式的和．
注：行列式按某一行拆开后，往往可以简化计算。一般来说，拆成的两个行列式中，一个计算比较简单，另一个可以找出递推关系。
上述行列式的性质可以简单的这样来记：转置、零值为基本，展开、拆开是办法，初等变换最常见。
三、行列式性质的应用
1. 计算行列式的转置、零值法
我们知道上三角行列式等于主对角线上元素的乘积，利用行列式与转置行列式相等，可得，下三角行列式也等于主对角线上元素的乘积。另外，如果在行列式的计算中，能推出某行（列）为零行（列），或者某两行元素成比例（或者相同），则行列式的值为零。
2.计算行列式的初等变换法：我们已经熟知上( 下) 三角形行列式的结果，因此，计算行列式时，常利用行列式的性质，尤其是行列式的初等变换这个性质，根据所求行列式的特点， 通常运用(1)选主元（行列式的某一列不为零的元素，最好是1，或者是最小公倍数）、(2)做交换、（3）消元、（4）重复四步，把所给行列式化为上( 下) 三角形行列式，此时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值，这种方法称为“初等变换法”，也称为“化三角形法”．它是计算行列式最常用的一种方法》
例1. 计算4阶行列式
3. 计算行列式的展开、拆开法：
如果行列式中某行（列）有较多个0元素时，可以按该行（列）中展开行列式，或利用拉普拉斯定理展开。从而得到低一阶的行列式，或更加简单的行列式。此外，将按行展开定理与其它行列式的性质结合起来灵活运用，计算将会变得更加简单。
根据行列式的结构特点，有时需要把某一行(列)的元素写成两数和的形式，再利用行列式性质将原行列式拆成两个行列式的和，从而，使问题得到简化，以利于计算。
如果行列式中有“大片”位置上得元素为零，也即当非零得k阶子式个数较少时，利用拉普拉斯定理，一般情况下，可以较快的降低行列式的阶数，进而容易求得行列式的值。
例4. 计算5阶行列式
由于篇幅所限，至于其他方面的应用问题，此处不再赘述，大家可参阅相关文献和书籍．
参考文献;
[1] 白忠玉.线性代数中行列式性质的讲法[J].数学学习与研究.2019（12）
[2] 吴晓庆.关丰宇.行列式的相关性质与应用[J].数学学习与研究（教研版）.2011(3)：[3] 代东岩.n阶行列式的计算方法和技巧[J].哈尔滨职业技术学院学报.2008(1）
[4]李乃华、赵芬霞、赵俊英、李景焕.线性代数及其应用:第二版.[M].北京:高等教育出版社2012(2)