骆永明
绍兴市稽山中学 浙江 绍兴 312000
摘要：文章从一个简单的圆的切线问题出发，利用GeoGebra软件动态背景，在具体的情境表征，动态演示的过程中学生发现问题，提出问题，并进行了符号表征，在再创造的过程中认识了数学的本质.同时在解决问题的过程中，通过可视化教学，提供直观的感知，视觉的感觉、暴露了数据的内在关系和总体趋势，揭示数据所传递的内在本质，揭示数学本质，锤炼思维品质，培育了学生的数学抽象能力，进一步提升了学生的数学学习力.
关键词：GeoGebra；数学抽象；动态视角
普通高中数学课程标准明确提出：数学核心素养包含具有数学基本特征的思维品格和关键能力，是数学知识、技能、思想经验及情感、态度、价值观的综合体现.数学的抽象性是数学的三大特征之一，也是数学核心素养的第一要素，数学抽象达到的程度大大超过其他学科，在一定程度上造成了数学学习的困难.因此，在课堂实践中，教师要不断探索合理途径，促进学生数学抽象素养的形成和发展.如何引导学生进行数学抽象，在具体的教学中，我们应抓住数学内容的本质、知道学生的认知规律，创设合适的情境、提出合适的问题，启发学生独立思考、鼓励学生与他人交流，在掌握知识、技能的同时理解数学的本质、形成和发展数学核心素养.
2018年7月16日，由人民教育出版社开发的人教智慧教学平台1.7版实现了GeoGebra在数字教材中的嵌入，创新了人教数字教材与学科工具的结合方式，能够更好地支持自主、合作、探究等教学模式.而GeoGebra软件是一款集几何作图、代数运算和数据处理等于一体的动态数学软件，能够帮助学生深入数学学科内部，帮助学生认识数学的本质、推动学生的数学思维往更高层次发展.学生“经历技术思考——数学思考——技术实现思考”这样一个不断循环往复的体验过程，让学生在掌握知识和技能的同时，感悟数学的本质，形成和发展数学核心素养，不断提升学生数学学习力.
例题：求过圆上一点的切线方程.
本例学生利用几何与代数两种方法进行求解，基本上掌握了切线问题的常见处理办法.如果仅此而已，不利于培养学生的核心素养.为此，我在课堂上利用GeoGebra的动态性进行了可视化教学，进一步培养学生的数学抽象能力.
动态视角一：从具体到抽象
利用GeoGebra，我们依次在指令栏输入指令：
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利用GeoGebra动态背景下数学可视化教学，在特例的基础上学生能够抽象出数学概念和规则，并形成简单的数学命题，并用数学语言表达的推理和论证，感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想，实现了第一层次的数学抽象能力的培养.
动态视角二：从特殊到一般
有同学提出，假如点不在圆上时又会怎么样呢？我们继续进行数学实验的探究.
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利用GeoGebra动态背景下数学可视化教学，学生能够在关联的情境中抽象出一般的数学规则，并将已知数学命题推广到更一般的情形，能够在新的情境中选择和运用数学方法解决问题.能够用数学语言表达，理解其中的数学思想，实现了第二层次的数学抽象能力的培养.
动态视角三：从模型到本质
进一步，我们可以发现，如图13，当点B在圆外向圆心靠拢的过程中，直线g也逐渐向点B靠拢.
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如图18-19，当我们在指令栏内输入：左边(c)-左边(g')=右边(c)-右边(g')，得到直线i，我们可以发现它跟直线g是一样的.
课后，学生查阅了相关的资料发现：
（1）极点与极线：如果圆锥曲线的切于A,B两点的切线相交于P点，那么P点称为直线AB关于该曲线的极点(pole),直线AB称为P点的极线(polar).
但是上面定义仅适用于P点在此圆锥曲线外部的情况.实际上,在P点在圆锥曲线内部的时候同样可以定义极线,这时我们可以认为极线是过P点做此圆锥曲线两条虚切线切点的连线.特别的，如果这个圆锥曲线是一个圆，我们同样有圆的极线和极点的概念.
（2）反演：首先约定，反演圆的圆心O是反演中心.规定反演半径就是反演圆的半径r（在解题和具体的应用上，可以用不同的反演半径，不必非得是反演圆的半径）.
利用GeoGebra动态背景下数学可视化教学，学生能够在综合的情境中抽象出数学问题，并用恰当的数学语言予以表达，能够理解数学结论的一般性，能够感悟高度概括，把握研究对象的数学特征，并用准确的数学语言予以表达，实现了第三层次的数学抽象能力的培养.
利用GeoGebra动态背景下数学可视化教学，学生以研究者的身份“做数学”、“发现数学”、“理解数学”和“应用数学”.
(1)有效促进学生对数学的理解.借助GeoGebra的交互性的学习环境，通过学生的操作，实验或试验，使学生从原有的知识中自然“生长”出新的知识.
(2)培养学生的非逻辑思维能力.在数学实验中，学生通过自己动手实验.对问题的观察、发现、解决、引申、变化等过程的模拟和实验.在深刻理解知识、把握逻辑演绎证明本质的同时，观察能力、探索能力、创造能力、实际操作能力等都得到相应的发展.
(3)促进学习方式的转变.数学教学的目的绝非仅仅是传授数学知识,更重要的是改善学生的数学学习方式，由过去被动地接受转为主动地参与，由以前做书本中的习题变为做自己设计的问题，由被动地学习变为主动地发现探索式学习.
(4)有效地提高了学生的数学素养.通过GeoGebra引领下的可视化教学，学生学会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界.而数学的眼光本质就是抽象，抽象使得数学具有一般性；所谓数学思维，本质就是推理，推理使得数学具有严谨性；所谓数学的语言，注意就是数学模型，模型使得数学的应用具有广泛性.
参考文献
[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社.
[2] 史宁中.数学思想概论——数量与数量关系的抽象[M].东北：东北师范大学出版社，2008.
[3] 张志勇.基于GEOGEBRA的数学实验与可视化教学[M].东北：东北师范大学出版社，2018.
[4] 史宁中，林玉慈，陶剑，郭民.关于高中数学教育中的数学核心素养——史宁中教授访谈之七[J].课程·教材·教法，2017(4)：8-14.