李洋
(上海理工大学, 理学院，上海 200093)
[摘 要] 正倒向随机微分方程在金融数学中有着重要的应用，金融数学的教学应加入正倒向随机微分方程理论及其科学计算方法的教学，使学生既了解和初步掌握随机分析理论，又能对一些简单的金融模型进行实际编程计算，从而达到金融数学理论与随机计算编程相结合的良好教学效果。
[关 键 词]正倒向随机微分方程；金融计算方法；编程计算
[作者简介] 1.李洋（1982-），男，山东潍坊人，上海理工大学理学院教师，博士，研究方向为金融数学计算方法。
《金融数学基础》作为金融数学专业课程中的核心课程之一，强调学科间的交叉渗透，学习这门课程会涉及到方方面面的交叉复合型知识结构，学生既要具备随机微分方程理论知识，又要能够运用数值计算、数学建模等方法解决处理各种融问题。把正倒向随机微分方程（简称 FBSDEs）理论与计算方法加入到金融数学的课程教学中，使学生初步掌握随机分析基础，FBSDEs解的存在和唯一性理论，FBSDEs的一些重要的科学计算方法理论。一方面通过学习FBSDEs，加强数学分析、高等代数、泛函分析、概率论与数理统计、随机过程等重要基础课程的学习；另一方面，通过Matlab等软件的编程，对于正向随机微分方程（SDEs）和倒向随机微分方程（BSDEs），会算一些简单的数值格式，例如Euler格式和Milstein格式等，从而深刻理解金融随机计算的理论和方法。
FBSDEs的理论与科学计算方法指导教师通过FBSDEs背景和应用的描述，引导学生进行学习、分析和讨论，它注重培养学生理论与编程两方面能力的结合。本文旨在对金融数学引入新的教学方法进行研究探索。
一、新的教学方法在金融数学基础课程中的实施方案。
第一，上课前建立微信、QQ群等学习群，了解学生现有的理论学习水平，对课程的了解和认识，特别是基础比较差的同学，要多加交流和讨论，让他们定期的找教师答疑辅导，上传一些重要的课件、论文和学习资料，强调课程的重要性，加强学生学习的主动自觉性，以达到较好的教学效果。
第二，通过较难的金融数学理论和随机试验编程的作业布置和讲解（加入线上讲解），让学生加深课程的理解和加强随机计算编程能力，为进一步学习金融数学打下比较坚实的基础。
二、课堂教学设计案例
以正向与倒向随机微分的科学计算方法为例，通过一个完整的课堂教学活动，目的是充分发掘学生学习的主观能动性，提高学生解决实际问题的能力，使教学形式更加生动有趣。
（一）教学内容与目标分析。
1.教学内容分析。布朗运动是物理规律的一种数学描述，把理论和实践结合在一起，正向与倒向随机微分方程是学习随机计算的理论基础。通过理论的学习，可使我们对随机微分方程的科学计算有了基础的认识，从而更好地对随机微分方程进行数值模拟分析。
2.学情分析。学生已经基本掌握正向与倒向随机微分方程的一些基本概念，例如布朗运动，伊藤积分和伊藤公式；能够使用MATLAB对一些简单的随机微分方程编程。
3.教学目标。让学生懂得运用伊藤公式去推导随机微分方程的真解，其次对于没有真解的随机微分方程我们教导学生推导数值格式，比如欧拉格式；并让学生进行简单的MATLAB编程。去模拟计算随机微分方程的数值解。
4.教学重点与难点。主要是随机微分方程数值格式的推导，以及如何运用计算机编程验证数值格式的收敛速度。
5.教学方法。根据学生对伊藤公式，随机微分方程数值格式，以及MATLAB编程的掌握情况和这节知识的特点将采用启发式、探究式、讨论式教学模式进行，提高学生学习效果，培养学生的团队合作意识。
（二）课堂教学模式的设计
1. 课前准备
①教师的课程规划。为了更好地让学生课前学习相关识点，根据FBSDEs的背景，教师课前要收集相关金融背景影视资料：由物理现象中的“无规则运动”到金融中的历史预测案例，再到彭实戈院士通过倒向随机微分方程对中国金融市场存在的危机的准确预测；准备正向随机微分方程（Black-Scholses方程）的数值计算和理论推导PPT；准备倒向随机微分方程的数值计算方法和理论推导PPT。
②教师制作的学习任务单：
任务一，问题引入；以一首诗“手把青秧插野田, 低头便见水中天. 六根清净方为稻, 后退原来是向前”引入倒向随机微分方程；介绍正向与倒向随机微分方程的应用前景。
任务二，观看视频 ：随机现象到随机事件及风险预测；学习内容：布朗运动、随机微分方程，问题：如何用计算机模拟布朗运动？反思：这种模拟什么情况是有效的？学习内容：MATLAB 中怎样模拟随机游动？
任务三，观看PPT 1：随机微分方程的计算；学习内容：伊藤格式的学习和运用；问题：线性方程如何使用伊藤格式求解，反思：如何构造数值格式。
任务四，观看PPT 2：倒向随机微分方程；学习内容：倒向随机微分方程的构造和格式证明；问题：如何证明数值格式；反思：数值格式的计算机模拟。
任务五，自主探究；学习内容：自主推导；问题：完成相关问题的消化理解，模拟简单的数值格式；反思：如何构造高阶数值格式。
任务六，完成练习；学习内容：通过习题自我检测；问题：独立完成练习；反思：通过做习题，还有什么疑惑？
2. 课堂教学
①课堂上内化知识。先大致了解学生课前预习情况，对本节课的整体知识教学有个宏观把握。对于重难点知识，为了更清楚地掌握学生对正倒向随机微分方程这一块的理解情况，教师可以先让学生自己阐述对这知识点的掌握情况，然后加以修正主动引导学生理解其实质含义，重难点知识尽可能在课堂上消化。
②理论联系实际。课堂中的教学并不止局限于理论教学，更要加强如何运用专业知识解决实际问题的能力，以及如何运用编程软件如MATLAB模拟数值运算。正倒向随机微分方程的数值模拟一直是个较难的知识点，其中关于条件期望的计算以及时间空间分割要求、插值方法等，要作为难点和重点教授学生。让学生上机理解算法过程并编写出来，学生遇到不清楚不理解的地方，主动跟他们交流。
③课堂上的反馈与评价。为了更好掌握学生对知识的理解情况，教师可以把事先备好的理论和实验课堂习题布置给学生，教师检查学生完成情况，多跟学生交流以清楚知道本课堂教学效果。
3. 课后巩固
①总结与反思。总结可以让学生知道本堂课都学了什么知识，什么知识点最重要，以及自己的薄弱部分。比如让学生学完了本堂课之后要懂得随机微分方程的数值格式都有哪些，还要总结一下怎么编程。还要反思，因为反思是获取知识和提高逻辑思维能力的最有效的方法之一，若能适时进行反思可使教学达到事半功倍的效果。
②拓展练习。古人云：“书读百遍，其义自见”。由此可知，复习对深刻理解所学知识尤为重要。课后的拓展练习不仅能够使学生在思想和知识的深度理解上得到再次升华，而且也能够起到培养具有逻辑思维和创新能力的智慧型人才。
四、结论
将FBSDEs理论与科学计算方法引入金融数学的专业理论教学中,强调了理论联系金融计算，它不是枯燥理论学习的过程，而是一个教学相长的过程 , 可以增强学生应用理论进行编程计算的能力，有利于提高学生学习的积极性和创造性，学生通过理论推导和模拟计算提高自己的理论水平和计算能力。
参考文献
[1] 彭实戈.倒向随机微分方程及其应用.数学进展,1997年4月,第26卷, 第2期.
[2] 胡素敏,案例教学在金融数学课程教学中的应用.金融理论与教学,2019.08,第4期.