赵亮
西平县高级中学
摘要：在高中数学教学中，双变量问题的题型较为多样，其联系的知识面较广，需要更高的构造思维，因此解决这类问题也有多种多样的策略。在处理在某个范围都可以任意变动的双变量问题时，学生往往没有思路，这通常是因为不知道将哪个变量看成是自变量然后导致研究无法求解。在实际的教学中，出现这种问题，一方面可能是教师讲解不到位，也可能是学生的解题策略不多。基于此，本文将重点进行分析与研究。
关键词：高中数学；双变量问题；教学探究
一、双变量问题
（一）双变量教学内容
双变量问题在人教版必修3第二章2.3中涉及。本课主要讨论线性相关的两个变量的统计分析，这节课的内容是回归分析的基础知识，在其中体现了统计学用确定性的数学作为工具研究不确定的现象。最小二乘法的思想是提高学生数学思维能力的好材料。同时也为更好的学习和选修2-3中第三章的内容打下基础。
（二）双变量教学目标设置
在该章节中，重视知识、方法和价值观上的培养，在知识与技能上，学生需要强化对于回归直线方程的理解，并在了解最小二乘法思想的前提下学会推导回归直线方程，在研究过程和方法上，需要能自主探究并体会数形结合和最小二乘法的思想，锻炼学生的观察分析和归纳比较能力，做到学生创新思维的有效培养，情感态度上则需要理解数学知识和现实世界的联系、养成积极探索的学习习惯。
二、双变量教学策略
（一）提出问题，了解最小二乘法的巧妙
在该节课的学习之前，学生已经学习了三点图和线性相关的关系，学习回归方程是非常有必要的，可以先引导学生刻画回归直线并展开教学实践。例如教师可以先给出一张脂肪比例和年龄关系的散点图，通过观察比较各个年龄段的脂肪含量，然后获得回归直线，求得其截距和斜率。学生也可以通过“测量法”画一条直线并移动直线，达到一个距离最小的位置并确定回归直线[1]。教师让学生分析一下问题：（1）怎样求点到线的距离，用什么距离代替点到线的距离；（2）用多少个样本点进行下步研究较为合适？（3）如何求偏差绝对值和最值、怎样消去绝对值符号、偏差平方和最小值。
（二）科学建模，建立转化回归思想
教师通过引导学生分析，在实际的研究中，测量法是难以操作的，那么怎样用计算获得点到线的距离，整体的建模应当具备以下标准：需要在合理的方案选择之下构建模型，并体现数量化的特征。回归直线方程的偏差绝对值之和最小推理出整体的距离和最小，如下图建模。其中A、B、C三点的坐标分别为：A（1,1）、B（2,3）、C（3,2）。其中，|3-(2b+a)|+|1-(b+a)|+|2-(3b+a)|偏差绝对值求最值，并消去绝对值符号，然后进一步转化成偏差平方和。
（三）转化求解，确定回归直线方程
其中，[3-(2b+a)]^2+[1-(b+a)]^2+[2-(3b+a)]^2是否有完全平方和等于零的情况，则说明这时候存在最小值。记上式为Q（a,b），将a作为主元变形，可以得到Q（a,b）=3[a-(a-ab)]^2+2(b-1/2)^2+3/2。经过多次配方可以得到，a=2-2b时存在最小偏差平方和，这时候b=1/2、a=1。将其带入Q（a,b）=[3-(2b+a)]^2+[1-(b+a)]^2+[2-(3b+a)]^2，得到回归直线方程为y=1/2x+1。整体的流程为，从偏差的绝对值向着平方和的方向转化，通过已知的知识求出回归方程的系数，然后通过偏差平方和最小来回归转化[2]。
（四）扩展推广，学以致用
整体上进行双变量问题的求解，可以通过求
的最小值，然后求得
求得平方，这时候的最小值就是总体偏差最小的情况。因此整体的流程就是先令整体的距离之和最小，再求得偏差绝对值的和最小，进而转化成偏差平方和最小，求得最小值即转化为回归直线方程。
三、双变量问题的一般解决步骤
（一）变更主元
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（三）转化值域和最值
这类问题可以将原问题转化成求最值或者值域来解题，例如函数g(x)=lnx+ax2-3x，在（1，g(1)）的切线方程是y=2，求函数的极值。在这个问题中，可以分析出g(x)的定义域是（1，+∞），求得g（x）`。
（四）整体替代
这类问题可以将函数求导，然后将某一函数代替其中复杂的函数部分，将整体的方程式简化，如已知函数f(x)=λlnx-e-x(λ?R)如果函数是单调函数，那么λ的取值范围是多少，通过函数f(x)可以看出，这个函数的定义域是（0，+∞），将函数f(x)求导，可以得出f(x)的导数是≥0的或者始终小于等于0。这样就可以分两种情况求解，得出λ的取值范围。这样的思想也可以用在求函数的单调性上，例如，f(x)=lnx-ax，a?R,求f（x）的单调性。其中，可以看出f(x)的定义域是（0，+∞）,则求单调性就是求其导数的正负性，这样解题就相对简单。再如，求两个看似毫不相关的式子之间的关系，也可以用这种方法，例如，f(x)=lnx-x，设x1>x2>0,求证，将后面的式子进行转化，则可以将该式子转化成求在什么情况下小于0即可。证明其在（1，+∞）上递减，则证明原不等式成立[4]。
（五）借助参照物
已知f(x)=（x-2）ex+a(x-1)2+a(x-1)2该式子有两个零点，则求a的取值范围。可引导学生思考，怎样的条件下有两个零点，可以将f(x)求导，直接求当a=0、a>0、a<0的时候，导数的正负变化，也可以分离参数，求得变形的是式子的取值范围，什么时候是（0，+∞），则说明在该点位置存在两个零点。此外，该可以采取数形结合的方法，设在f(x)上的的任意一点p，然后构造函数，在做题之前需要人为设定变量的大小，在此基础之上证明其范围。
四、结语
总而言之，新高考标准中注重学生数学核心素养的考查。函数类题目能最大程度上锻炼学生的数学思维能力，而通过函数的性质进行不等式问题的处理是学生需要掌握的难点。双变量函数作为高考数学的压轴题，在近两年中考察的范围越来越广，但是这部分题型学生也是丢分最严重的部分之一。在高中数学教学中，需要重点分析双变量的问题，并对于双变量的教学做好实践论证。
参考文献
[1]田雪茹.高中数学函数类“双变量”不等式恒成立专题训练探究[J].理科爱好者(教育教学),2020(04):130-131.
[2]叶珂源.浅析高中数学中双变量函数问题的解决策略[J].高考,2019(03):211.
[3]卢丙清.“秒杀”一类含双变量最值问题[J].上海中学数学,2017(10):20+25.
[4]唐锐光.高中数学新教材一道习题解答的评析——兼与文[3]、文[4]、文[5]作者商榷[J].中学数学杂志,2012(07):61-63.