李美萱
北京市第十四中学 北京市 100055
摘要：当今社会，人们开始意识到通过定量地研究传染病的传播规律，建立传染病的传播模型，可以为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。2020年新冠肺炎传染病在世界上爆发和流行，给人类带来了恐慌、危害和灾难。在这种特定背景下，通过传染病数学模型为控制该疾病扩散与传播提供重要依据就显得尤为重要。本文运用传染病动力学模型SIR对新冠肺炎传染病动力学建模方式进行建模分析。
关键词：新冠肺炎；扩散；传播；控制；SIR模型
1前言
传染病动力学是对进行理论性定量研究的一种重要方法，是根据种群生长的特性，疾病的发生及在种群内的传播和发展规律，以及与之有关的社会等因素，建立能反映传染病动力学特性的数学模型，通过对模型动力学性态的定性，定量分析和数值模拟，来分析疾病的发展过程，揭示流行规律，预测变化趋势，分析疾病流行的原因和关键[1,2]。
不同类型的传染病的传播过程有其各自的特点，不同于医学领域的传播规律，本文从一般的传播机理出发, 应用传染病动力学模型SIR来描述新冠肺炎传染病发展变化的过程和传播规律，运用联立微分方程组展示疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法。通过借助Matlab程序拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测，评估各种控制措施的效果，从而不断完善模型。
2问题重述
新冠肺炎传染病正在全世界范围内流行，因此希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。
考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。
（1）不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t时刻的感染人数。
（2）假设单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零，建立模型求t时刻的感染人数。
（3）假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。
3问题分析
（1）这是一个涉及传染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及一些初始资料，可通过建立相应的微分方程模型加以解决。
（2）问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。
（3）在实际中，感染人数是离散变量，不具有连续可微性，不利于建立微分方程模型。但由于短时间内改变的是少数人口，这种变化与整体人口相比是微小的。因此，为了利用数学工具建立微分方程模型，我们还需要一个基本假设：感染人数是时间的连续可微函数。
4模型的建立与求解
假设：总人数N不变，人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类，由于新冠肺炎治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者（易感染者），也非病人（已感染者），他们将被移除传染系统，我们称之为移除者（Removed），记为R类，上述称为SIR模型[1-3]。
4.1 模型构成：
在上述假设中显然有：
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4.2数值计算
在方程（3）中设λ=1，μ=0.3，i（0）= 0.02，s（0）=0.98，用MATLAB软件编程计算：
function y=ill(t,x)
a=1;b=0.3;
y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2)];
ts=0:50;
x0=[0.20,0.98];
[t,x]=ode45('ill',ts,x0);
plot(t,x(:,1),t,x(:,2))
pause
plot(x(:,2),x(:,1))
4.3 结果
从上述运行结果的数据得到i(t)和s(t)的两条曲线，如图1所示。随着t的增长，i(t)由初值增长至约t=7时达到最大值，然后减少，t→∞，i→0；s(t)则单调减少，t→∞，s→0.0398。
图1 s(t)和i(t)的随t增长的曲线
5模型评价与推广
上世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎所有病人都死亡了。死亡相当于移出传染系统，有关部门记录了每天移出者的人数，即有了的实际数据，Kermack等人用这组数据对SIR模型作了验证。理论曲线与实际数据吻合得相当不错。此前，针对全球性爆发的非典型肺炎，杨光[4]等人也采用SIR模型，进行了相应的预测和分析。
本文基于传染病动力学的原理，应用传染病动力学模型SIR来描述新冠肺炎传染病发展变化的过程和传播规律，通过联立求解微分方程组和程序运行得出相应结果，为新冠肺炎传染病的控制提供了模型基础。
参考文献
[1] Kermack W O, Mckendrick A G. A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics[J]. Proceedings of the Royal Society A Mathematical Physical & Engineering Sciences, 1927, 115(772):700-721.
[2]石耀霖.SARS传染扩散的动力学随机模型[J].科学通报,2003,48(13)1373-1377
[3]唐焕文,贺明峰.数学建模引论.北京.高等教育出版社.2005.3
[4]杨光, 张庆灵. 对传染病数学模型(Kermack-Mckendrick模型)施加控制的阈值分析[J]. 生物数学学报, 2004, 19(002):180-184.