戴祥辉
安徽利辛中学 安徽亳州236700
摘要：虽然2011版《初中数学课程标准》关于圆的内容较之前有所弱化，但从能力要求角度讲是强化了，在“图形与几何”领域，它也是一个重要的研究对象，蕴藏着丰富的知识，利用这些知识就能灵活地解决问题，简化解题过程，达到事倍功半的效果，但它在安徽中考中“犹抱琵琶半遮面”出现，需要我们耐心“一观三思找出来”图中的隐形圆，做一个有缘（圆）人。
关键词：灵活地、解决问题、安徽中考、隐形圆。
引言： 最近几年安徽中考题中，经常会出现一类有关圆的题目，这类题目在条件中没有直接给出有关圆方面的信息，但我们通过分析和转化，最终都可以利用圆的知识求解。这类题目构思巧妙，综合性强，充分考查了学生的数形结合思想，转化和化归的数学能力，深受命题者的喜爱；处理这类题目，关键在于能否把"隐形圆"找出来下面就有关安徽数学中考中的"隐形圆"问题作一些探索，下面结合实例，谈谈隐形圆在解题中的应用：
一、利用圆的定义构造圆
静态定义：圆是到定点距离等于定长的点组成的图形（轨迹）。在很多题目中关于圆的信息往往隐藏在一些条件的背后，需要我们用心去挖掘定点、定长这些条件，使问题得到解决。
例1（2012安徽中考22题）如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c.
（1）求线段BG的长；
（2）求证：DG平分∠EDF；
（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG。
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图1 图2
解析：（1）由△BDG与四边形ACDG的周长相等与BD=CD，易得BG=AC+AG,
即可得BG=(AB+AC);
（2）由点D、F分别是BC、AB的中点，利用三角形中位线的性质，易得DF=AC=b，由FG=BG-BF，求得DF=FG，可得∠FDG=∠FGD又由DE∥AB即可求得∠FDG=∠EDG;
（3）由△BDG与△DFG相似，∠DFG＞∠B，∠BGD=∠DGF（公共角），可得∠B=∠FDG，又由（2）得：∠FGD=∠FDG，易证得DG=BD=CD，可得B、G、C三点在以AB为直径的圆上，由圆周角定理，即可得BG⊥CG。
例2（2016年安徽中考23）如图3，A，B分别在射线OA，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点。
（1）求证：△PCE≌ △EDQ；
（2）延长PC，QD交于点R．如图4，若∠MON=150°，求证：△ABR为等边三角形；
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图3 图4
解析：（1）根据三角形中位线的性质得到DE=OC，DE∥OC，CE=OD，CE∥OD，推出四边形ODEC是平行四边形，于是得到∠ OCE=∠ ODE，根据等腰直角三角形的定义得到∠ PCO=∠ QDO=90°，根据等腰直角三角形的性质得到得到PC=ED，CE=DQ，即可得到结论。
（2）连接RO，由垂直平分线性质可得RA=RO=RB，所以A、O、B在以R为圆心的圆上，根据圆周角定理得∠ARB=60°，即可证明△ ABR为等边三角形。
二、利用直角所对的弦是直径构造圆
例3（2016年安徽中考10）如图5，Rt△ ABC中，AB⊥ BC，AB=6，BC=4，P是△ ABC内部的一个动点，且满足∠ PAB=∠ PBC，则线段CP长的最小值为（ ）
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图5 图6 图7
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图8 图9
解析（1）在Rt△DCB和Rt△DEB中，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半进行证明即可得；
（2）解法一：根据直角三角形两锐角互余可得∠ABC=40°，根据CM=MB，可得∠MCB=∠CBM，从而可得∠CMD=2∠CBM，继而可得∠CME=2∠CBA=80°，根据邻补角的定义即可求得∠EMF的度数；
解法二：由（1）知MC=MD=E=MB，所以点C、D、E、B都在以点M为圆心、MD为半径的圆上，根据直角三角形两锐角互余可得∠ABC=40°，在利用同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角相的二倍，可得∠CME=80°进而得到∠EMF=100°
例5（2017安徽中考22）已知正方形ABCD，点M边AB的中点．
（1）如图10，点G为线段CM上的一点，且∠AGB=90°，延长AG、BG分别与边BC、CD交于点E、F．
①求证：BE=CF；
②求证：BE2=BC?CE．
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