蒋金团
云南省保山市施甸县第一完全中学 云南 678200
摘要：先证明出1、2、4除外的一切自然数经过角谷变换后都不能回到自身,无论过变换程有多少步,再用反证法证明角谷猜想的正确性.
关键词：数学猜想、3N+1、无限变换、反证法
一. 猜想简介
任意写出一个自然数N，并且按照以下的规则进行变换：如果是个奇数，则下一步变成3N+1; 如果是个偶数，则下一步变成N/2, 每得到一个结果之后，再重复规则反复运算，无论N是怎样一个数字，最终都无法逃脱回到谷底1，准确地说，是无法逃出落入底部的4-2-1-4循环，这个有趣的现象叫角谷猜想。
二. 笔者的研究
(一)、 1、2、4除外的一切自然数经过角谷变换后都不能回到自身,无论变换过程有多少步..
(1) “3N+1”与倍数的关系
对于任意奇数N,根据角谷变换规则,它的第一步将变为3N+1,此时放大了多少倍?
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如图1，设X1为起始偶数项, X1 要想回到自身,只能满足放大倍数等于缩小倍数, 显然” 乘3加1”放大的倍数不等于 “ 除以2”缩小的倍数,因此一切自然数不可能经过两部变换回到自身.
②自然数经过三步变换能回到自身?
如图2，设X1为起始偶数项, X1 要想回到自身,只能满足放大倍数等于缩小倍数, 所以流程中只能有两次”除以2”变换和一次“乘3加1”变换,根据流程可列如下方程:
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结论:在一切自然数中,只有1、2、4三个数经过三步变换能回到自身..
②自然数经过四步及其以上的变换时,能回到自身?
当变换过程有四个步骤时,流程至少包含两个 “乘3加1”变换,否则放大倍数远小于缩小倍数,但是一旦出现两次“乘3加1”变换,至少有一次的放大倍数为” 三点几倍”,出现小数,而缩小倍数只能是偶数,两者不可能相等. 所以一切自然数经过六步及其以上变换时,都不可能回到自身. 综上所述,1、2、4除外的一切自然数经过角谷变换后都不能回到自身,无论变换过程有多少步.
(二)、讨论变换特点
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(三)、用反证法证明猜想
假设有一个数能在路径“第6行→第3行→第10行→第5行→第6行”之间不停循环，则将会有更多的数能在该环形圈里面循环，因为1、2?、4除外的自然数经过角谷变换之后都回不到自身。这样一来，在无穷次循环过程中，有一些满足条件的数之间的距离将永远保持不变。但另一方面，第6行的数经“第6行→第3行→第10行→第5行→第6行”路径再次回到第6行时，接下来是除以2变换，满足条件的数都会减半，每循环一次，满足条件的数就减半一次，即满足条件的数与数之间的距离終会改变，这与前面的分析产生了矛盾,这说明前面的假设是错误的，因此没有数能在路径“第6行→第3行→第10行→第5行→第6行”之间永远循环下去。同理可得，没有数能在路径“第8行→第9行→第8行”之间无穷循环;没有数能在路径“第4行→第2行 →第6行→8行→4行”之间永远循环下去；没有数能在路径“第1行→第4行(第7行) →第2行→1行”之间无穷循环(1、2、4三个数除外)。综上所述，如果一个数最终没有落入底部的“4-2-1-4”循环，则这个数将无数次演变成所有奇数行和所有偶数行里面的某个数，因为该数不能回到自身，则该数将逐渐变换成无穷大的数，如图4所示。
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与变换规则产生矛盾，因此，所有的数都遵循相同的结局。
课题基金：本文系保山市教科所立项课题：基于核心素养下高考物理命题倾向及复习策略研究（课题编号：145zdbjjt001）研究成果；学科融合背景下高中物理教学中渗透数学知识的深度研究（课题编号：145zdbjjt002）研究成果。