唐水华
江西南昌莲塘第二中学
【摘要】函数与其导数共存本源上是函数导数的运算法则及其演变．
【主题词】函数与其导数共存，本源探究．
函数f(x)与导数f′(x)共存问题本源上是函数导数的运算法则及其演变，理解和掌握导数的基础知识及其变式是解答的本源所在，如:(1) (2) (3) (4) (5) (6)．说明如下:
【题型一】f′(x)g(x) ± f(x)g′(x)
【题2】已知f′(x) 是奇函数f(x)的导数，且＜0，则的解集为 A．(－1，0)∪(1，2019) B．(-20191，-1)∪(1，2019) C．(0，2019) D．(-1，1)
【分析】由联想到g(x)=，
【详解】设g(x)=，故＜0，则g(x)在(0,+∞)上减，注意到g(1)=0，当(0，
1)时，，而g(x)=，故当x=1时，当，0，而
g(x)=，故；又是奇函数，故当时， ，，不合；当时，0，，符合；当
时，，，，不合；故的解为
(0，2019)，选C． 【小结】，构造g(x)=．
【题型二】xf′(x) ±nf(x)
【题3】［2015?全国Ⅱ，12］设f′(x)是奇函数f(x)()的导数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则f(x)>0的x范围是( ) A (－∞，－1)∪(0，1) B (－1，0)∪(1，＋∞) C (－∞，－1)∪(－1，0) D (0，1)
【分析】由xf′(x)－f(x) 联想到F(x)＝，
【详解】设F(x)＝，因f(x)为奇，所以F(x)为偶，因x>0时，xf′(x)－f(x)<0，F′(x)＝，F(x)在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上增，又f(－1)＝0，f(1)＝0，故 f(x)>0的解为(－∞，－1)∪(0，1)．选A．
【小结】xf′(x)－nf(x)＞0，构造F(x)＝，则F′(x)＝．
【题型三】f′(x) ± f(x)
【题4】已知f(x)为R上的可导函数，且均有f(x)＞f′(x)，则有( )
A．e2 019f(－2 019)＜f(0)，f(2 019)＞e2 019f(0) B．e2 019f(－2 019)＜f(0)，f(2 019)＜e2 019f(0)
C．e2 019f(－2 019)＞f(0)，f(2 019)＞e2 019f(0) D．e2 019f(－2 019)＞f(0)，f(2 019)＜e2 019f(0)
【分析】由f′(x)－f(x)＜0联想到h(x)＝，
【详解】 设h(x)＝，则h′(x)＝＜0，即h(x)减，故h(－2 019)＞h(0)，＞，即e2 019f(－2 019)＞f(0)；同理h(2 019)＜h(0)，即f(2 019)＜e2 019f(0)，选D．
【小结】(1) f′(x)＋f(x)，构造F(x)＝exf(x)．(2) f′(x)－f(x)，构造F(x)＝．
【题型四】f′(x) ± f(x)
【题5】已知R上的f(x)满足f(x)＋2f′(x)＞0恒成立，且f(2)＝，则exf(x)－＞0的解集为________．
【分析】由，因此f(x)＋2f′(x)＞0化为＞0，构造h(x)＝f(x)
【详解】由f(x)＋2f′(x)＞0得＞0，设h(x)＝f(x)，则h′(x)＝ [f(x)＋f′(x)]＞0，故h(x)增，又h(2)＝ef(2)＝1，exf(x)－＞0等价于（f(x)－1）＞0，即f(x)＞1，即h(x)＞h(2)，故x＞2．
【小结】(1) af′(x)+ f(x)，构造F(x)＝． (2) af′(x) - f(x)，构造F(x)＝．
【题型五】x f′(x) +nf(x) - x f(x)
【题6】已知f(x)的导函数为f′(x)，对均有xf′(x)＋f(x)＞x f(x)成立，且f(x)=，则x f(x)＞的解集是（ ）A. (－∞, e) B. (e, +∞) C. (－∞, 2) D. (2, +∞)
【分析】由xf′(x)＋f(x)＞x f(x)得f(x)+x f′(x)－x f(x)＞0， f(x)+x f′(x)为x f(x)的导数，联想到g(x)=，
【详解】由x f(x)＞等价于＞2，令g(x)=，则g′(x)=恒成立，故g(x)在R上增，又f(2)=，故g(2)=2，由g(x)，得x＞2，选D．
【小结】xf′(x)＋nf(x) - x f(x)，构造g(x)=．
【案例说明】本文通过函数与其导数共存问题求解的本源探究来促进学生数学抽象、逻辑推理、数学运算
和数学直观想象等数学核心素养的提升．
作者唐水华老师介绍：南昌市十佳教师、市学科带头人、市名师工作室优秀主持人、县中心教研组组长等。