陈兴
广东省河源市河源中学 517000
摘要：数学抽象是数学六大核心素养之首，是高中生需要培养的基本素养之一。本文将以数学教育家吕传汉教授的“三教”教育理念为指导，对《函数概念》教学案例进行研析，探讨在概念教学中如何发展学生的数学抽象能力，力争形成一些可参考的培养学生数学抽象素养的教学方法。
关键词：数学抽象；教学案例；研析；教学方法
一、“三教”教育理念
为提升学生数学核心素养，贵州师大吕传汉教授提出课堂教学要教思考、教体验、教表达（“三教”）的教育教学理念。通过教思考，引导学生运用数学思维去思考世界的规律性，让学生抓住问题的本质；通过教体验，让学生亲自体验知识的发生发展过程，促进用数学的眼光去观察事物的本质性；通过教表达，让学生亲自参与对问题及其问题解决过程的描述，特别是用数学语言表达自己的观点，传达自己的思想，体验用数学语言表达世界的简洁性。以上“三教”是培养学生数学核心素养的一种教学模式，是我们一线教师将培养学生数学核心素养落到实处的方法与途径。
二、数学抽象
数学抽象处于数学核心素养的第一位，这也体现出它的重要性，数学抽象的基本形式分为两种：一种是从现实中直接抽象，在实际现象中排除一些性质，剩下的即为我们所需要的的性质；另一种是进行概括归纳，即提取出事物的一般属性或本质属性，然后再进行处理，这就是数学抽象能力。
在教学中，我们不难发现数学概念的形成过程是最能反映数学抽象能力，概念课的教学更是培养学生数学抽象能力的重要阵地。在实际教学中，学生探究、经历概念的形成过程就是对概念的理解和掌握的过程。
函数概念是高中数学函数主线中最重要的概念之一，下面，笔者将以“三教”理念为指导，通过研析《函数概念》教学片段，分析函数概念的课堂教学设计与实践情况，探讨如何通过概念教学发展学生数学抽象能力，并提出一些可参考的培养学生数学抽象素养的教学方法。
三、案例分析：《函数概念》教学片段
教学片段过程分析如下：
（1）创设情境，引入课题
问题1：正方形的周长与边长的对应关系与正比例函数与的对应关系相同吗？
问题2：函数与是否相同？
【设计意图】从学生熟悉的问题出发，提出新的问题，学生利用已有的函数“变量说”的概念难以解答以上问题，要解决以上问题，就需要进一步学习函数的概念，让学生体会到引入本节课研究课题的必要性。
（2）分析实际问题，激发认知冲突
问题1：高速列车加速到350km/h后，匀速运行半个小时。可得路程（单位km）与时间（单位：h）的关系：。那么列车运行1h就前进了350km？
【设计意图】基于学生在初中对一次函数的认识，对并不陌生，并且容易说明对确定的时刻有唯一的路程与之对应。但是在初中并不强调变量与变量的变化范围。本问题目的是引导学生关注自变量的变化范围，并由此考虑相应的变量的取值范围。在此基础上，提出用精确语言表达问题，并给出用集合与对应关系刻画的方式，为提炼函数的要素做准备。
问题2：某维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。公司的工资标准是每人每天360元，且每周支付一次工资，如何确定一个工人每周的工资？一个工人的工资（单位：元）是他工作天数的函数吗？
【设计意图】选取本问题的解析式与问题1的一致，但因为自变量的变化范围不同，所以是两个不同的函数。从而让学生体验到，对函数而言，解析式和自变量的取值范围都是确定函数该关注的要素。
问题3：如何根据教材所给的北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图，确定这一天内任一时刻h的空气质量指数的值？这里的值是的函吗？
【设计意图】本问题的选取是为了给学生提供更多的从不同角度认识函数要素的机会，特别是对应关系对于函数的重要性。在教学过程中，设置类似“你能根据所给的图找到中午12时的空气质量指数的值吗？”等问题，让学生在解答问题时，发现由图所确定的对应关系符合函数定义的要求。
问题4：根据所提供的我国某城镇居民恩格尔系数变化情况表，判断恩格尔系数是年份的函数吗？如果是，你会用怎样的语言来刻画这一函数？
【设计意图】本题所给的素材以表格的形式，其呈现形式又与前3个问题有所不同，创设了一个新的角度认识函数的要素。教学时具体提出“你能根据数据表找到该地区2012的恩格尔系数吗？”及“你能根据数据表找到该地区2012的恩格尔系数吗？”等问题，让学生通过表格确定具体年份与恩格尔系数之间的对应关系，以促进学生体会对应关系的本质，理解变量的变化范围对于确定一个函数的重要性。
（3）合作探究，归纳概括函数本质特征
问题1：根据以上对问题1至问题4的分析，你能完成以下表格吗？
问题情境 自变量的集合 对应关系 函数值所在的集合 函数值得集合
问题1
问题2
问题3
问题4
问题2：根据所填的表格内容，你能发现问题1至问题4中的函数有哪些共同特点？由此能概括出函数概念的本质特征吗？
【设计意图】让学生讨论、合作完成，让学生体会从集合到集合，从集合到集合，从具体的解析式、图、表到对应关系的抽象过程。从而自然而然得出函数的共同特征：
（1）都包含两个非空数集，用，来表示；
（2）都有一个对应关系；
（3）对于数集中的任意一个数，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数和它对应。
（4）抽象形成概念，表达函数概念
问题1：能否将以上函数的共同特征联系在一起，回答：什么是函数？
【设计意图】引导学生经历从事物的共同特征上升为事物的本质属性，经历数学概念及其表述的形成过程。通过对记号的引入与理解，提升数学表达能力及数学抽象能力。
问题2：从函数概念可以得到构成函数的要素是什么吗？
问题3：你能用新的函数定义重新认识已学的函数吗？请完成以下表格：
函数 一次函数 二次函数 反比例函数
定义域
对应关系
值域
【设计意图】帮助学生加深对函数概念本质的理解，学会运用数学知识进行交流与表达。
从以上的“函数概念”的教学片段可以看出，概念学生经历了在函数“变量说”的基础上理解函数的“对应关系说”，体验了对函数的认知冲突，经历了函数本质的抽象过程，经历了函数的表示符号的抽象过程，经历了函数概念的表述形成过程，培养了数学抽象核心素养。整个教学过程充分践行了教思考、教体验、教表达的“三教”理念，将培养学生数学核心素养落到实处。
五、总结与反思
新课标、新高考、新教材等大背景给我们一线教师提出了新的要求，我们是培养学生数学核心素养的直接践行者。根据以上教学案例的研析，我们可以以“三教”教学理念为指导，从以下三方面入手，将培养学生的数学抽象素养切实落实到教学中去，提升学生的数学素养。
（1）注重数学知识的抽象及形成过程
要培养学生的数学抽象素养，教师在教授新知识的要先设置合理高度的问题给学生造成认知冲突，引起学生对新情境充分展开思考，然后让学生成为新知识的探究的主体，循序渐进地引导学生探究新问题，让学生充分体验抽象知识的形成过程。
（2）注重数学符号语言的抽象过程
数学知识的表达和呈现都涉及数学符号语言。学生在学习新的数学概念或性质、定理时，经常要学习一些新的数学符号，对数学符号的抽象过程也应让学生经历具体到一般、由具体都高度抽象概括的的过程，决不可以直接让学生记忆、套用。
（3）注重“由具体到抽象”与“由抽象到具体”相结合
数学抽象的过程一般都要经历“由具体到抽象”，然后再由“由抽象到具体”的思维过程，前者是为了形成抽象的知识，后者是对新习得的抽象知识的理解与运用。例如函数概念的习得过程，就是通过对多个问题、多个具体函数的研究，层层深入探究函数的共性，提炼函数的本质特征。在抽象出函数的概念后，再以新模型的角度重新认识已熟悉的函数，加深对函数概念的理解。
参考文献：
[1]袁景涛,李时建,吕传汉.基于培育数学核心素养的行动教学课例研究[J].2019.07
[2]李洪忠.指向发展高中学生数学核心素养的教学策略[J].2019.01
[3]课程教材研究所.普通高中教材教师教学用书[J]. 2019.07
本文系：广东省教育科学规划课题高中数学教学培养“数学抽象”素养的实践研究（项目编号2020YQJK506）研究成果。