吴蒙稼
浙江省义乌市第六中学 322000
摘要:数学概念是学习数学的重要基础与依据，学生在概念学习过程中应当对.概念的形成约定加以深层次的思索与探究。本文以人教版“平面向量的实际背景及基本概念”教学为例，对学生学习向量概念的困惑进行了调查，并加以整理归纳。
关键词:向量概念；概念困惑
引言
向量是近代数学中极其重要且基本的概念之一，有着深刻的几何背景，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具[1]。而平面向量基本概念是向量体系中最为基本的构成单元，是学生构建向量认知的基础。平面向量作为一个全新的概念进入到学生的知识体系当中，学生对此的反应出现了明显的分层。面对全新的概念，有的学生可能对教材中的一些规矩习以为常，而有的学生则可能疑惑顿起。为什么要有这样的规矩，刨根问题，探其究竟。比如为什么要提出这一概念、为什么是这样而不是那样对概念下定义、为什么要做出这样的数学约定、为什么要提出这样的数学准则[2]……为此，笔者对任教的两个高一班级的学生进行了问卷调查，统计出学生在学习平面向量概念时感到困惑的若干问题，继而进行研究与分析。
一、调查结果统计
问题1.向量就是特殊的数量？向量就是数量的扩充？
问题2.向量的方向有正负之分吗？
问题3.向量可以比较大小吗？
问题4.方向相同的向量是否可以比较？
问题5.向量的几何表示为什么用有向线段这一图形来表示？
问题6.为什么向量的符号表示与有向线段的符号表示相同？
问题7.向量的模符号与绝对值符号的区别？
问题8.为什么向量的符号表示是,而不是或者其他的形式？
问题9.零向量的符号为什么是，为什么不用？
问题10.为什么向量的长度叫作模？
问题11.零向量的图形如何表示？
问题12.零向量的方向为什么是任意的？
问题13.零向量长度为零，怎么与任意向量平行？
问题14.向量就是有向线段？有向线段就是向量？
问题15.平行向量与共线向量之间的关系？与线段的平行及共线有何区别？
问题16.有平行向量，是否存在垂直向量？相交向量？
问题17.有平面向量，是否存在空间向量？
问题18.既然有相等向量的概念，为什么不相等的向量不能比较呢？
问题19.平面向量中存在加减乘除的运算吗？
问题20.既然向量与矢量表示的是同一个概念，那么为了方便起见名称上为什么不统一起来呢？
问题21.向量是怎么发明发现的？
问题22.为什么要学习向量？用来解决什么问题？
二、调查结果分析
由统计结果显示学生在学习向量概念的过程中，普遍性存在的问题大致分为22个。针对这22个问题，可以将其分为两大类：A类是学生可以自行解决的，B类是学生无法解决的。
问题1-4、14-19属于A 类，学生在课堂上通过互相交流探讨基本可以自行解决。
为什么学生能够自行消化这些问题？究其原因，这9个问题具有共同的特征：参照物。学生从已有的认知体系中提取与之相关的知识信息，通过类比与联系，可以有序、有效地建立参照信息，理清来龙去脉从而获取问题的答案。
问题5-9、10-13以及20-22问题属于B 类。根据学生理解力的差异，B类问题又可以细分为两种。问题5-9是学生在向量符号方面的困惑，基于符号的抽象性在一定程度上限制了学生的思维。课堂上通过小组合作形式让学生站在创造者们的角度去感受困惑、思考问题。经过教师的适当引导与渗透，学生普遍能够接受向量符号的创造，并由此衍生出更多合理的、创新的解释，从而加深学生对向量符号的印象，帮助学生更好地感受及记忆向量符号。可见传统的不问缘由机械性地死记硬背数学符号的学习方式是无法让学生对符号的诞生与内在逻辑产生共鸣的。而本次课堂学生关注到相关向量符号的表达方式及原因，激发了学生的好奇心与求知欲，增强了学生的概括能力、抽象能力。使学生明白数学符号的诞生并不是随意的、一蹴而就的，也不是孤立毫无联系的，而是伴随着时间与智慧、实用与严谨。
相较于学生对问题5-9的理解力，学生对于问题10-13以及20-22的理解力明显有所下降。部分学生对于这些问题的解释表示无法接受或者云里雾里，这也是情有可原的。平面向量以往是出现在高校的数学课堂中，后期才下放至高中，作为一块全新的内容进入学生的视野。面对一块完全陌生的领域，由于认知结构以及知识储备联想能力的限制，相关问题所呈现的难度可能与学生已有的认知产生矛盾冲突，从而超出了学生的理解能力与认知范畴。抛开问题的答案，从问题本身的层次上来看学生能够提出这些问题，足以见得学生对向量概念的好奇与用心，这是一个值得鼓励的现象。
数学概念有其产生的合理性，有些是约定俗成的，有些甚至是不需要加以解释的，也就是说并不是所有概念问题非得要有一个标准答案或者足够合理的解释。以上文中的问题10、12为例，不需要刨根问底。
三、对策与建议
根据平面向量概念学习中产生的问题现象来看，笔者认为数学概念的教学应当引起教师与学生的双方重视。数学概念首要表现在概念的形成，概念教学必须让学生经历概念的形成过程[3]。享受探究的过程，即使遇到困难也无需畏惧，对于学生而言在探究概念问题的道路上增强了思考力与执行力；对于教师而言增强了师生互动，发掘了学生的更多可能，拓宽了对概念的认识，一举两得。
李邦河院士认为，“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧。技巧不足道也！”以解题教学代替概念教学的做法严重偏离了数学的正规，必须纠正，重视数学定义刻不容缓。否则，学生在数学上耗费大量时间、精力，结果可能是对数学的内容、方法和意义知之甚少，“数学育人”终将落空[3]。通过平面向量概念教学案例，学生对于数学概念的理解并非教师想象中的浅薄与机械，无论是关于提问还是解答，学生都有很多成熟的、新颖的、精彩的、独到的想法与见解。通过对概念的探究有利于学生高效地内化新知识，减轻学生的学习压力与教师的教学压力，增强学习动力与兴趣，培养学生数学抽象、逻辑推理等方面的核心素养，促进学生的主动发展。
参考文献
[1]普通高中课程标准试验教科书（A版）：数学4（必修）[M].北京：人民教育出版社，2016，第30版.
[2]李太敏.基于高中数学一些“规矩”的生疑与释疑[J].高中数学教与学，2019（8）：33-34.
[3]章建跃.数学教育随想录上卷[M].杭州：浙江教育出版社，2017.