蔡焕生
汕头市潮阳区练北初级中学，广东省汕头市515100
摘 要：正所谓“反其华还就实，反其伪还就真”，在数学教学中运用逆向思维训练，不仅可以提高学生治学的兴趣，更可以活跃解题思维、缩短解题时间。本文探讨了初中数学逆向思维的训练方法，并根据实际例题，讲解了逆向思维教学的实际运用策略。
关键词：逆向思维；初中数学；思维训练
一、引言
2019年教育部颁布了《关于加强初中学业水平考试命题工作的意见》，意见中指出初中学业水平考试命题应该注重学生“思维过程、创新意识和分析问题、解决问题的能力”以及“提高探究性、开放性、综合性试题比例”[[[] 中华人民共和国中央人民政府.教育部关于加强初中学业水平考试命题工作的意见[EB/OL].http://www.gov.cn/xinwen/2019-11/30/content_5457116.htm]]。考试命题的变化，显示出初中教育在提升学生思维和实践能力方面的新要求。
二、初中数学逆向思维教育的基本概述
数学思维是人类个体运用特定的逻辑方式认识数学规律和其本质特征的一种思维活动，它属于一般思维规律的范畴，有正向思维和逆向思维两种。正向思维即按照现有条件和认知规律，去分析、处理和解决问题的过程；而逆向思维则是与正向思维相对应的一种思维方式，它是从反面对问题进行思考、分析与解决的思维方式。[[[] 肖迎春.中学生数学一项思维能力的调查与教学策略研究[D]山东师范大学,2017.P6]]
相比小学生，初中学生生理和心理发展迅速，已经有了独立思考与实践的能力与诉求。初中数学教学中的逆向思维培育价值有：①加强思维训练，正向思维和逆向思维交叉运用，拓宽逻辑视野。②反向推论认证，加深学生对数学规律与定理理解，提高解决数学问题的能力。
三、逆向思维训练在数学教学实践中的主要运用策略与实例分析——以九年级数学教学为例
对比其他的学科，数学不论在概念定理的论述，还是在分析问题、解题逻辑和题目设置背景上都更加抽象。鼓励学生运用逆向思维思考与学习，首先应该运用多种授课策略，激发学生形象思维，培养其多角度思考问题的习惯。当前适宜初中数学逆向思维训练教学的方法主要有：
（一）公式法则与定义的逆向反推
1.培育原则：鼓励反向推导。初中数学的课程教学，已经开始由简单的数字算法向数学应用转变，教学目标已经不是简单地要求学生会算题；而是具备在繁多的公式法则中，能选取合适法则为我所用，实现灵活而效率地解决问题。这就需要教师鼓励学生多多质疑，凡事都要问个问什么。改变原有机械性地背诵公式法则与定义，不如直接以逆向思维先将其否定，再引导学生进行推导，从而确定其准确性。以人教版九年级数学下册的《反比例函数》和《相似三角形》两节内容为例，设置逆向反推如下：
例1：如果y是x的反比例函数，那么x也是y的反比例函数吗？请理解反比例函数的定义加以解释？
例2：解释相似三角形判定定理：“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，构成三角形与原三角形相似”。
2.例题解析：简单设置反推。初中数学法则与定义的教学，要求反推求证设置环节宜简洁而明晰，应以最直观的求证过程，加深学生对相关内容的印象。例1中，首先回顾反比例函数的定义：“如果两个变量x，y之间的关系可以表示成(k为常数，k≠0，x≠0），则称y是x的反比例函数”。假设如果y是x的反比例函数，而x不是y的反比例函数。则：关系存在，但关系不存在，这显然是错误的。因此反比例函数x和y之间是互为反比例函数的。仅用一步推导，结果就十分明了。
同理在例2中，假设平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的两个三角形不相似。如图3-1（1）所示，直线DE//BC，假设△ADE和△ABC不相似，由于DE//BC，则同位角∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,两个三角形有共同∠A，则△ADE和△ABC三个角分别相等，则三个角都相等的三角形为相似三角形，假定为错误。
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图3-1 相似三角形判定定理
（二）反证法在课题解析中的运用
1.量化验算反证法。运用逆向思维去反推定理的正确性，本质是由已学的定理规则去判定新的知识。学生在逆向推导的过程中，容易陷入不断证明定理的误区。例2中，需要用“三个内角都相等的三角形相似”去反证“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，则两三角形平行”，好像证明力度不够。此时教师就可以将反证法拆解为量化计算，待学生掌握更多数学知识后重新回顾，则反证结果更为直观。此题就可以运用反证法和三角函数相关知识。
例3：运用三角函数相关知识解释“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，构成三角形与原三角形相似”这一定理。如图3-1（2）所示，直线DE//BC且与△ABC相交于D和E点，证明△ADE和△ABC。
解析：假设△ADE和△ABC不相似。因为DE//BC，同位角∠ADE=∠ABC,自A点做AF⊥DE,AF=自D点DG⊥BC，DG=则根据三角函数相关知识，sin∠ADE==sin∠ABC=，即可以证明==。而运用三角函数面积公式=ABACsin∠BAC（推导过程略），=ADAEsin∠BAC，则可以推导出=。根据相似多边形的定义，△ADE和△ABC三个角相等，且，则两个为相似三角形，假设不成立。由该例题不难看出，定理的反向推导与反证是个复杂过程，不仅需要数据化的验算，必要的时候还需暂时搁置，等学生掌握新的知识，再回顾验算判定。
2.预估结果，反证结果。在实际做题过程中，逆向思维优势在于不被题目条件迷惑，可以自行判定结果，再进行反证。以人教版九年级数学上册《二次函数》课后题为例：
例4：四边形ABCD的两条对角线AC,BD互相垂直,AB＋CD＝10.当ABCD的面积最大时，求AC与BD的长度（图3-2）？
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图3-2 一元二次方程
该例题是典型一元二次方程应用题，,最后形成关于x（BD长度）和y（四边形面积）的函数为：，可以用求根公式进行计算。但此时应该逆向求证大胆评估。首先，假如BD无限小接近为0.则四边形ABCD接近于三条重合直线，面积也应该为0.因此可以预估到y应该是通过原点而开口向下的一段抛物线，且y=0的两个X值中轴位置，就是y的最大值所在的位置。取，X=0或X=10，则X=5时，y的最大值为12.5。最后验算预判正确。
（三）使用思维导图锻炼正反思维
思维导图是以框架脉络的形式，可以很直观地把问题、解决的目、解决方式和结果展现出来，将知识结构串联以方便学生理解和记忆。因此思维导图不仅可以锻炼学生分析问题、解决问题的正向思维能力，还能直接从结果出发，找到自身的弱点和待完善的问题，逆向找到问题所在。以九年级数学上册《圆》为例，主要知识点思维导图如3-3所示，并解析复习题。
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图3-4 有关圆的计算
例5：正三角形ABC的连长为a，分别以A、B、C为圆心为半径的圆相切于E、E、F点，求阴影部分面积（图3-4）。由思维导图可知，了解圆的定理与计算方法，首先需要了解圆的位置关系。该题目是圆面积和扇形面积的计算，利用思维导图逆向寻找解决这类问题所需要的知识点只要有：圆的有关性质、圆的位置关系、弧长、扇形面积等，利用思维导图，可以从需要的结果出发，逆向串联所涉及的知识面，这对正反双向思维的训练都大有裨益。
四、结语
总之，学生的逆向思维能力的培育，是一个需要教师付出长期的专注与努力漫长过程。锻炼学生的逆向思维能力，有助于提升其思维活跃度，拓宽解题思路，并在激发学习兴趣的同时，强化其对数学基本规律的认知。这对尊重学生个人发展、实现青少年创新意识的培养，都有很大的助益。
参考文献:
[1]牛建民.浅谈中学数学中的反证法[J].课外阅读（中下），2012（17）：22-24.
[2]覃锡余.中学生数学逆向思维能力的培养刍议[J].数学学习与研究，2010（4）：21.