范国军
广东省英德市沙口中心小学分校区513052，
摘要: 学生的运算能力是《义务教育数学课程标准）》2011版中的10个核心概念之一，是每个人必须具备的一项基本的数学能力，也是学生今后学习、生活及参与社会所必需的基本素质之一。本文针对高年段小学生运算能力的现状进行了调查与深入的分析,得出了调查结论。结合我们一线老师的课堂教学，我们进行了培养高年段小学生运算能力有效策略的行动研究，并总结出一套行之有效的方法,与我们的教育同行共勉。
关键词: 运算能力 现状分析 策略研究
引 言: 作为数学学科的三大能力（运算能力、空间想象能力、逻辑思维能力）之一，运算能力是小学生最基本的数学能力。《义务教育数学课程标准》（2011年版）指出:培养学生的运算能力有助于提高学生的数学素养，有助于提升学生解决问题的能力，能帮助学生养成认真细致耐心不畏困难的品质。培养小学生的运算能力是小学教师的一项重要任务。我们知道,教育教学中培养学生这方面的能力并非是一蹴而就的,需要结合教学内容和学生学习特点循序渐进,有针对性地进行培养。出于这样的理解,我们对小学高年段孩子们的运算能力进行了调查:针对孩子们的运算能力处在一个什么样的水平?他们在运算能力方面存在哪些不足?对调查结果经过分析总结,我们研究了怎样通过一些有效的策略来促进孩子们运算能力的长足发展和提高。
一、运算能力概述
《义务教育数学课程标准》（2011年版）中明确指出：“运算能力是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。”
数学运算能力包括：运算条件的分析能力，计算过程的确定能力，计算方向的探究能力，计算公式的选择能力，计算障碍的排除能力，计算结果的审查和调整能力，共六个能力。
运算，它不等同于计算，运算能力也并非是一种孤立的数学能力。它建立在有效观察的基础之上，理解关键数学知识，辨识分清运算条件，选择合适的运算方法，经过简单或复杂的运算步骤，结合一定的算律、算理，呈现最终的运算结果。他是算与思及反思的结合，是算与表达的结合，同时也是算与类比的结合。
二、高年段小学生运算能力现状调查
从学生的角度进行调查。
1.调查对象
英德市沙口镇中心小学 五年级（6）班43人和五年级（7）班的42人。
2.调查内容
北师大版五年级下册数学前四个单元内容，题型有（1）口算题；（2）混合运算；（3）简便运算；（4）四道生活与实践的应用题。
3.调查情况
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4.调查情况分析
从调查两个班的学生完成情况来看，学生的运算能力不强，具有很大可塑性。1、观察能力、审题能力不强。从学生的答卷情况看出，没有养成仔细观察，认真审题习惯的占46%,可见，培养学生的观察能力和审题能力迫在眉睫。2、良好行为习惯没有养成。（1）书写习惯的养成。学生对答卷随意书写，做错了的题目就在试卷上涂涂改改，还有的字书写潦草，可以称得上龙飞凤舞，这就造成了写错抄错的几率增加；（2）认真检查和验算习惯的养成。许多学生做完之后没有倒过头来认真把试卷检查一遍，有的只是随便看看试卷还有没有空着没有做的，没做的把它做完，就算检查完了。他们从来没有把做完的题目认认真真验算一遍，本来可以弥补之前因粗心大意算错的题目，白白浪费了大好的机会。3、灵活运用公式和法则进行解题这方面能力的养成。从学生完成的简便运算和生活与实践中的一题多解这些题目可以看出，题目稍微变一变，很多学生就转不过弯来了。一题多解的很多学生都走了弯路，没有选择最优的方法解答。4、对算理的不理解，导致计算错误或不会计算，从调查统计的数据可以看出，这里的占比人数达到了62%，可想而知，我们的课堂教学加强对算理的突破对提高学生的运算能力有多么的重要。
以上就是我们对这次调查情况的分析。当然，我们不能就一次调查就对高年段小学生的运算能力得出什么结论，但是它具有一定的代表性，可以暴露出我们学生运算能力方面普遍存在的问题。我们课题组针对我校学生运算能力薄弱的特点，进行了两年多的行动研究，实践出真知，确实收到了良好的效果，现在把我们的一些培养策略跟大家分享。
三、培养高年段小学生运算能力的有效策略
（一）加强口算基本功训练
早在文革时期，邱学华教授就对学生的运算能力进行了研究，发现基本口算与多位数笔算显著正相关。要培养学生的运算能力，口算是基础。如果缺失口算基础，即使理解算理，掌握算法仍然难以保证计算的正确性。在小学高年段里，学生学习最多的是两位数乘法和两位数除法，而两位数乘除法出错频率最高的是什么呢？通过我们团队的研究和一线老师的调研，我们一致认为是：乘加两步口算！举个简单的例子来说明一下，比如我们小学生在竖式计算78×82的时候，学生先用82的个位上的2去乘以78，等于156，这里只有一次进位，学生比较少出错；但是，当学生用8去乘以78时，8×8等于64，竖式里写4进6，接着用8去乘以7等于56，并且还要用56+6，多了这样的一步计算，学生如果口算不过关，或者平时练得少，就会算得晕头转向，出错率极高；再举个除法的例子：用竖式计算628÷78，在竖式的个位上商8，那么学生就要用8去乘以78，当学生用8去乘以78时，8×8等于64，竖式里写4进6，接着用8去乘以7等于56，同样还要用56+6，出现了乘加两步口算。基于这样的思考，我们整理了两位数乘除法可能出现的乘加两步口算的练习题供学生练习。见下表：
4×7+3= 3×6+4= 6×8+4= 1×9+4=
2×9+4= 3×9+4= 4×7+5= 7×7+5=
7×8+5= 3×6+5= 6×6+5= 6×8+5=
1×7+6= 4×7+6= 5×7+6= 7×7+6=
1×8+6= 2×8+6= 6×8+6= 7×8+6=
1×8+7= 2×8+7= 3×8+7= 6×8+7=
7×8+7= 8×8+7= 1×9+7= 2×9+7=
3×9+7= 4×9+7= 5×9+7= 6×9+7=
1×9+8= 2×9+8= 3×9+8= 4×9+8=
5×9+8= 6×9+8= 7×9+8= 2×9+3=
要加强学生的口算，贵在坚持，循序渐进。我们训练的形式有视算和听算。我们是这样进行的，把整理出来的乘加两步口算的练习题制作成小卡片，做到学生人手一份，利用上课的前三分钟进行训练，学生看着小卡片进行视算，操作非常简单，学生用练习本对着小卡片竖下来一行一行写答案就行了。练了一段时间后，学生比较熟练了，我们就进行听算训练。可以是老师读，学生写答案，或者同桌之间互读互写。为了调动学生训练的积极性，我们还可以进行一些形式多样的口算小比赛，他们就会学得不亦乐乎！这样一来，学生的口算上来了，笔算的正确率也跟着上来了。
（二）加强算理与算法相融的教学
1.循理入法，以理驭法
要提高学生的运算能力，一定要加强算理与算法相融的教学。算法是运算操作的程序化，逻辑思维的规范化。理解算理是记忆的需要，理解算理也是灵活运用法则的需要。我们的课堂教学要从形象直观中抽象出具体算理，形成对算理的认识和理解，注重算理的渗透，避免将数学“僵硬化”，知其然不知其所以然。
在教学北师大五年级下册第五单元《分数除法一》这一课时，我们知道：分数除以整数，等于分数乘以这个整数的倒数。学生理解起来非常抽象，为什么除以一个整数就要去乘这个整数的倒数呢？我校的黄彩霞老师是这样引导学生探究算理，掌握分数除以整数的运算方法的。课件出示第一张课堂学习单：“1.把一张纸的平均分成2份，每份是这张纸的几分之几？
教学时，黄彩霞老师先呈现问题，在理解题意的基础上，给学生充分的动手操作的机会鼓励学生先自己独立尝试解决问题，然后小组进行交流展示。一般来说，学生可以用画图（见图一），分数的意义等方法解决这个问题，能根据除法的意义列出算式
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÷2。在画图、理解分数意义的基础上，学生可以得出
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。此时，有的学生可能会得到“分数除以整数，分母不变，用被除数的分子除以除数得到商的分子”。是不是所有分数除以整数都可以用这种方法来计算呢？在这里给学生设下悬念，引导学生继续探究下一个问题。
接着黄彩霞老师用课件出示第一张课堂学习单：“2.把一张纸的
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平均分成3份，每份是这张纸的几分之几？分一分，涂一涂，与同学交流。”这个问题与上一个问题是个同构的问题，不同点在于被除数的分子“4”不是3的倍数，而这恰恰是学生理解的难点，在思想上碰撞出火花。教学时，黄彩霞老师做了如下处理：（1）学生读题，在理解题意的基础上列出算式
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÷3。（2）鼓励并组织学生直观探索。可让学生利用长方纸画一画（见图二），涂一涂，从而得到结果
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,在此基础上，引导学生思考这个问题与上一个问题的不同点在哪(被除数的分子“4”不是3的倍数)，说说自己是如何得到结果的。由此，教师可引导学生联系分数乘法的意义，说明把
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平均分成3份，求每份是多少也就是求
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的
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，从而理解其基本算理。最后，学生通过大量举例验证，水到渠成地总结出分数除以整数的方法。
2.凸显一般算法的实质
加强算理与算法相融的教学更加凸显一般算法的实质。在教学北师大五年级上册第一单元小数除法中的《精打细算》（除数是整数的小数除法）时，看看如何进行算理与算法相融的教学。课件出示情境图：“在甲商店买了5包牛奶，共11.5元，甲商店每袋牛奶多少元？说说你的想法。”学生利用小组合作，探究性学习，老师在巡视时发现，学生会借助已有生活经验，把新知识转化成旧知识来解决问题。第一种是学生根据元、角、分之间的关系，把小数除法转化成整数除法来进行计算。即11.5元=115角，除到的结果是23角，23角=2.3元；第二种是11.5元=10元+1.5元，10元÷5=2元，1.5元÷5=0.3元，2元+0.3元=2.3元；那么，还有没有更加简洁有效的方法来解决这个问题呢？我们直接进入到竖式计算。一般情况下，学生会计算出第一步即11÷5=2……1，怎么继续除下去是一个难点，在教学时我们可以借助人民币模型，理解“1”表示多少（1表示1元或10角），同时理解“5”表示多少（5表示5角），进一步理解“15”表示多少（15表示1.5元，表示15角）。在此基础上，让学生理解15表示15个0.1，从而转化为15个0.1除以5，得到3个0.1，也就是0.3。引导学生思考如何表示11.5÷5除法竖式中的商。强调商的小数点和被除数的小数点要对齐，“3”表示3角，在十分位上。
（三）加强合理选择算法的教学
1.笔算要选择算法
合理选择算法正确运算本是笔算的“内涵”，我们课堂教学中的多位数乘法的竖式与简便运算可以说是一脉相承的。比如我们在教学“45×22”的竖式计算时，先用个位上的2去乘以45得到90，再用十位上的2去乘以45，即20乘以45得到900，然后把两个积相加得到990。在进行简便运算时，我们会这样计算45×22=45×20＋45×2，我们来对比一下，45×22的竖式计算和简便运算的思维过程完全是一样的，区别在于只是书写的形式不同，所以我们在课堂教学中把“笔算”和“简便运算”割裂开来完全是没有道理的。在平时的测验考试过程中，只要遇到求45×22的准确值，99%的学生都会选择竖式计算，而很少学生会想到简便运算，所以我们的课堂在“笔算”教学时一定要和“简便运算”联系起来，让学生明白其中的道理，这样就会大大提高学生运算的速度和正确率。
2.估算更要选择算法
在调查中发现：国外的估算教学注重强调实际问题的估算，而我们国内的估算教学更加关注数值运算的估算。比如在教学69×72的估算时，我们都是教学生利用四舍五入法写成79×72≈80×70来进行估算，老师教给学生的对策就是：加减法与乘法的估算保留首位，除法的保留首位或前两位。比如780÷36≈800÷40，2350÷36≈2400÷40。老师采用了这样的策略教学之后，我们的学生就会形成一种固定思维模式，以后的估算，无论遇到什么问题，他们都采用这样的对策：先用竖式笔算，再把结果四舍五入，这样的结果肯定对的。显然，这样的估算就变味了。下面我们来看一个联系生活实际的例子：“礼堂一共有18排桌椅，每排22个座位，有350名同学来听课能坐下吗？”学生估算的结果有三种：（1）22×20=440，把结果估大了，显然无法确定够还是不够。（2）20×20=400，这样的结果究竟是估大了还是估小了呢？显然这样的答案模棱两可。（3）20×18=360，把结果估小了都还比350大，很显然，这样的估算结果是最有说服力的，一定能够坐下。因此，现实情境中的估算一定要与算式的估算结合起来，根据实际需要，选择估算的方法。
3.关注合理简洁的运算途径解决问题
《义务教育数学课程标准》（2011年版）中明确指出：“要关注合理简洁的运算途径解决问题。”在教学北师大版五年级下册数学第四单元《有趣的测量》中的情境例题：“一个长方体容器的长15厘米，宽10厘米，放入石块前水深10厘米，放入石块后水深15厘米，石块的体积是多少？”很明显，这是一道等积转换的题目，只要求出上升的水的体积就是石块的体积。课堂教学中学生有两种解决方法：
方法一： 方法二：
15×10×15－15×10×10 15×10×（15－10）
=150×15－150×10 =150×5
=2250－1500 =750（立方厘米）
=750（立方厘米）
第一种解决方法是用上升后水的总体积减去上升前水的体积，从而求出石块的体积。第二种解决方法的学生发现长方体容器的长和宽都没有变，变的是水的高度。在课堂教学时，我们老师一定要引导学生对这两种方法进行对比，哪种方法更优。很明显，第二种方法的计算过程比较简洁，特别是遇到计算数值比较大或出现小数计算时，第二种方法的优势更加凸显出来。
（四）注重学生良好学习习惯的养成
1.注重培养学生规范书写的习惯
要提高学生的运算能力，我们平时还要抓学生规范书写的习惯。现在的小学生书写能力差，字体普遍比较潦草，这也是他们计算经常出错的原因之一。学生在计算时，有时由于书写潦草分辨不清而误看。例如比较常写错“7”和“1”，“6”和“0”，“8”和“3”。还有一个比较常见的现象就是笔算时，竖式的对位问题。有些学生无论是乘法算式还是除法算式都没有对位意识，随便书写，这样出错率极高。面对学生这种情况，我们老师要高度重视，要求孩子们把数字写端正，写清楚。整数乘法和除法竖式没有对位意识的，我们要指导他们把相同数位对齐，小数乘法的要求学生要把末尾的数字对齐。总之，竖式计算的规范书写体现了学生的运算思路，以及对计算方法的掌握情况，学生有错必纠，耐心指导，常抓不懈。
2.注重培养学生检查验算的习惯
对于小学生来说，他们的意志力还不够稳定，在书写或计算过程中难免会出现这样那样的错误。要想提高他们的运算能力，避免过多计算上的错误，培养他们检查书写和验算的习惯就显得尤为重要。无论是在课堂上做练习，还是平时做作业、测验考试，我都会要求学生养成检查验算的习惯。一是要检查有没有按题目的要求来作答；二是检查有没有抄错数字或运算符号；三是对运算比较难或比较复杂的要认真验算。可以根据情况采用估一估，看看大概值是不是在这个范围内。还可以看看尾数，根据加减乘除的运算要求能不能得到它。举个例子：在计算8.4÷8时，很多学生算到1.5，而正确答案是1.05。检查时，我教学生估一估，结果应该比1多一点点，而没有1.5那么多，计算一定出错了。还可以反过来用1.5×8看等不等于8.4，通过这样的一些口算方法来检查验算，效果非常好。再如128×17，有个学生算到等于2170，我就教他看尾数，7×8有可能得到“0”吗？学生很快就会发现正确答案是2176。
3.注重培养学生计算天天练的习惯
俗话说“拳不离手，曲不离口”。要想学生把学过的知识巩固好，就要常练习。我们学校就非常重视学生计算能力的培养，在我们的课堂教学中专门设置了“计算天天练”这个环节。我们是这样落实的：在数学课的前3分钟，老师根据教学内容，有针对性地设置一至两道题目给学生操练，由老师和学生分级检查批改，老师检查正副班长和数学科代表3个人的完成情况；正副班长和数学科代表3个人检查6位组长的完成情况，一人负责两个小组长，6位组长检查各小组成员的完成情况。例如：在教学北师大五年级上册第一单元第一课时《精打细算》（小数除以整数）时，“计算天天练”这个环节我就设置了204÷4，996÷42这两道题，学生通过对整数除以整数的除法竖式的练习，来为新授小数除以整数作准备。再如：讲完北师大五年级上册第一单元第三课时《谁打电话时间长》（小数除以小数）后，下一节课的“计算天天练”这个环节我就会安排两道上一节课学过的计算题6.3÷0.42，7÷0.35来进行巩固训练。对于小组长检查到不会做的同学，课后就进行一对一的“兵帮兵”辅导。别看这样一个小小的环节，大大地提高了学生运算的正确率和运算速度。
结束语：学而后方知，知而后必行。培养学生的运算能力是一项复杂而又细致的工作，需要结合教学实际长期培养和训练。我会把所学、所思、所悟内化于心，融入到日常计算教学中，让孩子吃透算理算法，坚持口算、估算、笔算训练，培养学生的运算能力，增强数学素养，让每个孩子都学有所获！在培养学生运算能力的同时，提升他们的数学综合素养，促进学生全面发展。
参考文献：
[1]曹培英.小学数学核心词演变的回顾、反思与展望[J].小学数学教师，2015（11）
[2]曹培英.从学科核心素养与学科育人价值看数学基本思想[J].课程﹒教材﹒教法，2015（8）
[3]曹培英.小学数学问题解决的教学研究（一）[J].小学数学教育，2013（6）
备注：该论文为2018年广东省英德市市级课题《培养高年段小学生运算能力的行动研究》的研究成果。课题编号：18—16。作者简介：范国军（1977-），男，广东省英德市人，大学本科，一级教师，研究方向：小学数学教育。