倪灿东
浙江省杭州市萧山区万向小学 311215
【摘要】基于教育价值理解的数学APP益智游戏，作为数学综合实践课程的一种拓展，也为学科素养的发展提供一种丰富。本文在APP益智游戏开发的价值审视基础上，梳理寻找数学游戏的合适平台，结合2048射击游戏案例实践分享，理性分析APP游戏引入课堂，促进APP益智游戏在小学数学课堂教学的开发与实践。
【关键词】儿童素养；APP游戏；开发实践
一、实践背景：寻找数学游戏的合适平台
爱玩、喜欢游戏是孩子的天性。如何把抽象的、枯燥的教学内容通过有趣的情景或游戏设计，让教学内容以一种生活、立体的形式再现，赋予知识以生命，是亟待破解的教学难题。
笔者对于学校的14名一线数学教师的调查中发现，71.4%的教师偶尔会利用游戏导入课堂教学或者在课堂中穿插小游戏，激发学生的积极性，85.7%的老师则肯定了游戏化教学对于小学课堂的作用。一线老师们认为中、低段的孩子注意力容易分散，游戏化教学提高学习数学的兴趣、提高课堂参与率、培养良好的课堂听课习惯。但是，在实际应用中，通过对一线老师的采访以及听课，大部分的老师试图将游戏引入课堂，但结果不尽人意，多媒体设备更多地只是呈现了课件，依旧忽视了学生的主体地位。
在信息技术日益发展的当下，移动终端的各种APP软件大行其道。以数学知识、数学活动、益智娱乐、竞技博弈为载体开发的各种APP也如雨后春笋般琳琅满目。同时，新课程改革的突破点是教学模式的完善与变革，APP软件的教学应用将带来新的教学方向。而其中这些APP益智游戏不仅涉及经典的益智游戏如华容道、七巧板、鲁班锁等，也有小学数学教材中的教学内容如巧算24点、汉诺塔、一笔画等，还有基于各种能力培养、创意或博弈的进阶挑战，它们的应用将会为小学数学的教学带来翻转课堂的效果。
为丰富这一领域的研究成果，笔者积极探索APP益智游戏在小学数学课堂教学的开发，并进行了有益的探索和教学实践。
1.数学APP益智游戏的特点
顾名思义，数学APP益智游戏是指安装在智能手机上的益智类软件。进行APP益智游戏的课堂融入就是将各种各样的APP益智游戏渗透到课题教学当中，完善数学课堂学科教学的不足，补充和激活课堂学习，为孩子们提供更丰富的使用体验和操作手段，实现学习个性化的需求。
比如面对枯燥的计算和学生计算能力的不足，借助《速算24点》APP游戏可以有效激发学生计算能力：打开“速算24点”APP（如图1），点击“简单”型题组，谁最先算出一题组的24点，谁就胜出，成为这节课速算小冠军。巧算比赛的现场，气氛是紧张热烈的，每一位同学的专注中进行，最快完成的且全对的同学获得冠军称号。积分结果不理想者，可以利用APP中加减法和乘除法重新巩固计算能力。
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图1
因此，数学APP益智游戏教学是数学内容与游戏形式有机结合起来的一种教学活动与课程资源，也是一种教学策略与表现形式，其特点在于“玩中学”,即在玩中发现更多有趣的数学问题，开发思维，提升素养。
2.数学APP益智游戏的甄别梳理
在APP数学益智游戏的梳理过程中，我们会发现有些APP游戏可以从名称很容易判断出游戏中蕴含的数学特性，如《数独》；还有一些APP，如《舒尔特注意力》这类APP游戏从名字中不能直接看出数学游戏的特性，但是其游戏的玩法与进阶与数学内容相关，并联系紧密。鉴于APP游戏的这些特点，我们将含有游戏元素，有一定的游戏规则，并且能推动学生数学思维能力发展的APP益智游戏进行收集。通过梳理，笔者将收集的益智游戏根据儿童发展目标所起作用的不同借鉴人教版教材学习领域的划分，将搜集的游戏分为了以下四类：
表1：APP益智游戏分类表
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3.APP益智游戏的研究目标与路径设计
笔者认为，只要在游戏过程中能找出数学的元素，并且能体现数学思维，游戏的进阶推动与数学概念紧密结合的APP游戏均归为可研究的益智游戏。为将益智APP游戏有效融入小学数学教学，实现儿童素养发展目标，笔者基于收集整理的计算、图形、推理、创意四大类APP益智游戏，探寻每一个类型APP益智游戏的不同教学价值，研究设计了不同的实施路径。
图2
如图2，融合不同类型的APP益智游戏于小学数学教学，在APP益智游戏课堂融合的过程中，探索相关融入教学开展课堂实践的4种融入方式：片段环节式融入、以内容主题式融入、以拓展延伸式融入、以经验分享式融入。以上四种APP益智游戏教学融入方式旨在培养并提高学生的计算能力、空间观念、逻辑推理能力和创新能力，进而丰富小学数学课堂活力，并形成小学数学游戏化学习的资源库。
二、教学活动：“APP游戏”中玩出解决问题的灵感
不同的APP益智游戏由于其内容的独特性，其中蕴含的知识、技能、经验和思维能力是不同的，对课堂教学本身产生的价值必然也会不同。按照实施路径设计，笔者在不断尝试和课堂反思中，提升APP益智游戏课堂融合的价值，使学生在愉悦而富有挑战的课堂里不知不觉地形成问题的解决、能力的培养和学科素养的发展。
2048射击APP游戏是一款益智小游戏，游戏的规则十分简单。在游戏中，每次操作之后又会随机生成一个2、4、8、16、32或64。游戏者需要控制不断出现的方块向上面的某一列方向发射，两个相同数字方块撞在一起之后合并成为他们的和，最终得到“2048”的数或者更大的数，避免数字向下移动直到接触底部导致游戏结束。这与我们熟悉的五下教材综合实践的内容——“打电话”类似，更与“达依尔的麦子”故事中的倍增问题如出一辙。利用这些2的阶乘数来进行射击游戏其实质就是2的阶乘数求和的“倍增问题”模型。那么如何将游戏教学、情境性问题融入倍增问题的数学建模中呢？下面笔者以2048射击APP益智游戏融入教学为例，谈谈学生在游戏的过程中如何“玩”出了解决问题的灵感。
1.在故事情境中抽象数学问题
《课标2011年版》关于模型思想指出：建立求解模型的过程包括从现实生活或具体情境抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。简单的说，模型思想就是让学生经历“问题抽象→建立模型→解释或应用”的全过程。因此，创建激发学生思考的问题情境并有效抽象、形成一定的数学表达是培养模型思想的第一步。为了把实现快乐学习和深度学习以一种游戏化的方式融入课堂教学，需要注意以下关键策略：建立目标；设定通向目标的里程碑（关卡）；不断鼓励进阶（激发与奖励）；社交联系（交流反馈与协作）；合理的难度提升（竞争与反思）；用于保持兴趣的分支任务和差异化体验。
在2048射击APP游戏融入数学教学中笔者结合“达依尔的麦子”故事改编，通过麦粒与棋盘的视频故事导入，在激趣的同时，直奔主题，引导学生抽象出数学问题，经历数学建模过程。
【教学片断一】
教师播放“麦粒与棋盘”的视频故事，引导学生思考：国王能满足大臣的要求吗？在学生故事情境的回忆中，教师结合课件呈现故事情节里的数学问题：国际象棋的棋盘一共是8×8=64个格子。按照大臣的要求，第一格放2粒，第二格放4粒，第三格放8粒，按照这样的规律，每一格是前面一格的2倍，直到这64个格子全部摆满为止，一共有多少麦粒？
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图3
师：要解决这个问题，我们用算式怎么表示？
生：能，2+4+8+16+32+64+128+256+......
师：有什么困难？
生：这么多数，后面的数越来越大，第64格怎么表示？
师：嗯，大的不好表示，那我们就从小的先找规律。
师：第一格是2，第二格是4，可以看成2×2，第三格是8，就可以看成2×2×2，这样的话，这个4格就是4个2相乘。第64格呐？
生：就是64个2 相乘。
师：是啊，你们真厉害，找到了规律，一下子就能表示出最后一格数。
我们可以这样来记录最后一格的数是：
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数学建模是一种特殊的数学问题解决形式。随着第64个格子的数被表示，故事情境被抽象成一个从2的1次方加到2的64次方的数学问题。考虑到这种同数相乘的简化表示对于四年级的学生而言是第一次接触，因此也没有再要求用指数表示。相比等差数列的求和，这样的等比数列求和问题对学生也是首次接触。为了有助于学生突破理解，需要再提供同一题材的情境比较，引入APP游戏体验，以直观呈现期待学生感知数学事实并感悟其中的内在联系。
2.在游戏探究中感知数学模型
规则从本质上讲不是为了理解事物而设定的，而是在具体行动中体现出来的现实性与约束性，是为了调节人的行为而特意设定的。在行动中，一条简单的规则会发生形式上的千变万化，成为一个不可穷尽的行动调节器。
规则是游戏的一个核心要素，游戏融入课堂教学务必要让学生自由体验，充分探究，习得规则和游戏内在丰富的数学模型。2018射击游戏的规则是什么？它与麦粒与棋盘故事中的倍增问题有何联系？为破解2的阶乘数求和问题，笔者在教学中尝试让学生利用平板进行2048射击游戏体验，在游戏探究中充分感知游戏背后的数学模型。
【教学片断二】
教师引导学生打开平板根据课件演示的操作流程，找到游戏界面，进行游戏的自主探究。在学生3分钟的自主游戏尝试过程后，教师再适时引导学生提炼游戏的规则和玩法。
图4
师：游戏好玩吧，和大家分享下游戏的玩法？
生：用2、4、8、16、32、64同数合成后会变成它的2倍数。
师：那游戏的目标是什么？
生：合成1024、2048或者更大的数。
师：玩了游戏，你又有什么经验可以和大家分享？
生：看到相同的数先射击合成更大的2倍数。
师：要是没有相同数呢？
生：可以把小数放在大数的下面。
首次体验，学生大致明确了游戏的玩法和规则，但要玩好游戏，感知更多丰富的经验还要再次游戏。因此在教学中，又设计了第2次游戏探究。在第二次游戏挑战中，教师需要学生带着这样的思考进行游戏：（1）怎样才能合成2048，有没有好策略？（2）有没有可能合成更大的数？
有了第一次的体验后，在第2次游戏中，学生合成到1024或者2048的明显增加。学生在游戏中也有了这样的兴奋体验：
生：我在游戏中发现可以连续融合，连环合成一个新的数。
师：你说的连环合成是什么意思？
生：小数依次放在2倍数的下面，就可以实现连环融合。256下面是128，接着放64、32、16，现在发射16向上，16×2=32,32×2=64,64×2=128,128×2=256,256×2=512。
师：最后是512吗？
生：是1024，左右相邻也能合成。256右边还有个512，512×2=1024。
师：真厉害，再发射一个16，这1列数最后会连续合成变成一个数。
2018射击游戏的玩法很简单，但规则习得和数学模型是要学生通过不断的尝试和直观体验得到才显得更加真切和深刻。通过交流、总结，学生对游戏中2×2=4、4×2=8、8×2=16…同数可以合成2倍数的数学模型有了更为丰富的感知。学生在游戏体验中将数按照倍半摆放，形成连环合成的兴奋体验是游戏的乐趣，也是应用这一数学模型的效果。应该说，借助2048射击游戏的2次探究，学生从游戏的直观操作中感受到2的阶乘数连续求和的丰富模型。由此可见，为顺应儿童的思维特点，小学数学的建模教学应当充分运用几何直观，并重视表达、交流过程中语言描述能力的培养。
3.在策略分享中形成模型建构
开展建模教学，要求学生能够透过现实模型抽象出它的数学意义，从而与相关数学知识建立起联系。在2次的动态游戏体验后，需要静态呈现游戏中的问题，形成策略分享。同时，通过一定的推理和类比，将游戏与所要解决的目标指向联系起来，回归问题解决，从而形成“倍增”的模型建构。
【教学片断三】
收集学生在游戏中出现的问题，大的数不小心放在了小的数下面，如图2被8和64包围，如何想办法解救2？根据左右可以合成的规则，学生会把8放在64的下面，旁边的8就会合成16，2自然就空出来了。此时教师还可以追问：那如果出现的是64，你会怎么选择？生：先合成64+64=128，再128+128合成256，再等2合成4。
应该说策略分享让学生对于游戏本身有了很好的认识，这时要沟通游戏和所要解决问题之间的联系，指向问题解决。回归故事中的数学问题并提问：刚才玩了这个游戏，对你解决这个问题有什么帮助？学生觉得这个游戏就是源于这个问题，但要算出所有64个格子数的和还有困难。因此，可以先从第一行的8个数（圈一圈）入手。
图7
生：先加一个2，就可以像游戏那样不断融合，最后变成2个256，就是512。师：非常好，你想到了用游戏里的方法来解决这个问题。那这8个数的和是512吗？
生：512还要减去2。
师：我们能用算式来表示这8个数的和吗？
生：2×256-2=510。
师：真厉害，借助游戏的玩法我们可以快速算出8个格子的总数可以用第8个格子里的麦子数×2-2来计算。那我们继续研究，如果到第11个格子，一共的麦粒又是多少？（如果摆满2行一共有多少麦粒呐？）
生：第11个格子是2048，总数是2048×2-2=4094。
师：看来同学们已经有了解决问题的方法，那全部64个格子里的麦粒总数怎么算？请同学们拿出练习纸，试一试。
生：
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师：是的，65个2的乘积减-2就知道最后的结果了，大家课后可以去玩一玩2048射击，看能不能玩出最后的结果。
“用数学的眼光去观察周围的事物，抽象出它的数学意义”，就是从实际事物或情境中发现蕴含其中的数量关系 、空间形式或数学模型。从“达依尔的麦子”到倍增问题，从倍增问题到“2048射击游戏”，再从“2048射击游戏”到“达依尔的麦子”回归倍增问题的解决。一个小小的2，通过不断地倍增，变成巨大的数据，这就是倍增神奇的力量。生活还有这样的倍增现象：如浮萍的生长、细胞的分裂。利用“数学眼光”去发现是完成数学建模不可或缺的能力基础，需要这样的思维拓展课逐步渗透和培养。
4.在游戏学创中实现模型应用
学习的过程是再创造的过程，也是知识类比和跨界融合提升的过程。建模教学应当让学生经历从建模准备到模型应用的全过程。在游戏融入课堂的建模教学中强调数学模型的游戏化应用，强调学生在一段时间内通过研究并挑战一个真实的、有吸引力的和复杂的问题、课题、游戏或任务，从而掌握重点知识和技能的学习方式，实现模型从建构走向解构后的应用。
【教学片断四】
在教学中，用2048射击游戏巧妙的解决了棋盘摆麦粒的数学问题。那如果改成3、6、12、24、48、96、192、384，你还能快速算出结果吗？
生：384×2=3=768-3=765
师：下面请你在练习纸上利用倍增创编一个类似2048射击的倍增游戏。并把你的设计方案和大家分享下。
数学的本质是思维。让学生在数学游戏中因思维的生长而获得智能的发展，应是数学游戏课程的目标与追求。在游戏分享和同伴合作中，体会数学益智游戏的乐趣，从而形成正确的游戏观。笔者以为，融各种基于能力培养、学科素养发展、创意或博弈的进阶APP益智游戏于小学数学教学中，能够激发学生的学习兴趣，使学生在掌握国家课程规定的基础知识、基本技能的同时，收获数学经验，发展学科素养，培养和激发数学情感。
三、实践反思：数学APP游戏引入课堂的注意点
在实践中，笔者对教育APP的开发和应用尽管也有了一些实践的探索，但还处于摸索阶段，特别是把益智游戏APP应用于课堂教学，由教师引导学生完成相应的游戏并完成授课计划还需要结合案例不断实践和反思。
1.明确教学目标,游戏内容围绕数学教学本质
APP益智游戏致力于“玩中学”，作为教学工作的补充手段，要求设计与教学目标相配合的教学设计，使得形式为内容服务，让学生在活动中真正有所体验、感悟和收获。游戏教学的内容与形式是在不断的变化，相应的教学方法也要随之变化。通过APP益智游戏，通过规则讲解，游戏教学，转化成学生自觉自愿的活动，激发自发内在动力，让学生自己去想、去创造。
【案例】《数图游戏》
“数图”游戏：称作“以数绘画”，它是一种逻辑解谜游戏。因为数字纵横交织，所以也称为“数织”。由一张正方形网格形成棋盘，其中的每个格子最终需要涂成黑色或标记为X。 棋盘每一行左边或每一列上方的数字表示该行或该列上每一组相邻的黑色方格的长度。 游戏的玩法是通过左击一个方格以涂黑，右击以打叉，按住并拖动来标记多个方格的方法，找出所有的黑色方格。不管几乘几的数织规则都是一样的。
首先要理解数织左侧和上侧的数织意义，例如：（5）表示该（行、列）内有5个连续的黑格，（1，2）表示（行、列）内有1个黑格和2个黑格是分开的，中间可以有多个空格隔着。最后要满足左侧和上侧的数字都能体现的数织里面。
在探究中，学生发现可以用两种解法求解数织问题。解法一：满格法。看倒数两行，数字为（3，6）。可以看出3+6=9，再加1个空格刚好把10个格子填满。拿到一个数织题，就先用这种方法填完能填的。解法二:补全法。我们看第一二三竖列，都有一个5，又因为上一步的已知，连续的5个方格都是到最底部。最后，安排学生挑战尝试。游戏一共三个级别，我们先从普通级10×10开始。利用满格法和补全法不断观察、尝试和推理，在格子图中快速找出数字所表示的所有黑色方格。
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数字信息化时代的APP益智游戏不应是单一的游戏，需根据数学内容增加更多的知识含量，提高感情指数，不断推陈出新，构思新颖，充分调动学生参与积极性。
2.分析学段特点，游戏融入依据学生身心发展
针对不同年龄段的学生，采取的游戏以及教学方法应有所不同。比如《速算24点》在1-3年级适用于难度低一点，加强加减乘除的四则运算的简单混合计算；在4-6年级可选取难度大一点，加大计算量。低段学生可以多用激趣的游戏，逐渐向技能熟练的游戏转变，高段学生可以逐渐接触《数字华容道》、《层叠消融》、《桥梁建筑师(Bridge Constructor》等复杂图形的益智游戏。
【案例】《层叠消融》
“层叠消融”是一款出现在《最强大脑》中的益智挑战游戏。教学时首先组织学生观看视频剪辑，探讨游戏的玩法和规则:（1）偶数张图形叠加消融。（2）奇数张图形叠加保留。（3）将若干基础图形，拼接叠加成对应的目标图形。明确规则后，请学生上台尝试游戏。组织学生探讨目标图在哪里？基本图在哪里？哪里有偶数张图形叠加消融？哪里是奇数张图形叠加保留？在对基本图和目标图形的观察、比对中埋下解决这一图形层叠问题解决所需的想象因子。
在第二轮游戏时，组织学生打开限时游戏。然后以全班为单位交流游戏闯关情况，在多位同学自我策略尝试和方法的分享中，初步萌发出玩游戏的一点想法：通过先找边角完成目标图形的某一部分。笔者选择简单题的第四关游戏进行重点交流探讨，运用白板让学生在静态呈现中再次操作演示，自悟推理各种组合的方式。同学们利用画板演示自己思考的三种情况（如图9）：图1和图2先组合、图1和图3先组合、图2和图3先组合。
图9
在对三种方法共性的提炼后，用基本图拼出目标图的部分结构这一游戏玩法的策略自然而成。同时还找到了提高游戏闯关成功率的秘诀：通过点子图和数格法来调整位置。
游戏的成功开展需要全体同学的共同参与，游戏要面向全体学生，做到游戏有规则，注意环节直接的严密性，并且持续课后学习。
3.注重学科融合，游戏教学讲究创造性思维
数学是思维的体操，在数学教学中培养学生的创造思维，发展创造力是时代对我们教育提出的要求。为此在APP游戏教学中，笔者以提升学生的创新意识和能力逐渐为数学教学的一个重要目的和原则。
【案例】《桥梁建筑师(Bridge Constructor)》
在Bridge Constructor游戏里，玩家扮演的是一名桥梁建筑师，因为岛国加玛图加发生了地震，导致岛上所有桥梁坍塌，我们必须帮助他们重建所有的桥梁。课堂游戏就在这样的背景下展开，主要为游戏中第一个小岛上的六座桥应该如何修建，第一个小岛示意如图10、图11所示：
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右上方会有要建的桥的地理位置显示，下面会有桥身要横跨的距离标识；同时，本关卡可以用到的建筑材料也会显示出来。修建时要注意的是，所用材料是要消耗预算的，每一关在屏幕上方都会有预算数字，超出预算就不能修建了。
在新手关卡中，学生明白游戏规则：只要按游戏画面中虚线的结构依次铺上木板即可，最后点击小汽车或货车，只要汽车安全通过即算过关了。也就是说，游戏的玩法就是不仅要完成搭桥，还要通过汽车的通过验证才算过关。在每个关卡中，学生思考怎样才能成本最低且通过汽车的验证，极具创造力和思维力。
游戏中修建桥梁，有时也不能只追求美观和建筑学的一些固有结构，由于某一关卡提供的建桥材料有限，我们就必须想办法用折中的材料和结构来代替本来最理想的材料和结构。最后，尽可能的优化桥梁方案，用更少的成本建牢固的桥梁，结合桥梁工程的力学和物理学。在游戏中拓宽专业知识面，激发学生对于工程建筑的关注。
数学App益智游戏教学要将数学知识、游戏规则、数学思想方法与游戏策略融入信息化智能手段展现在人们面前，这不仅可以作为数学综合实践课程的一种拓展，拓宽数学课程，也可以为学科素养的发展提供一种丰富。
总之，APP益智游戏教学不求难、求新，而是要用一个个充满数学味的数学游戏问题在数学学习上的思维缺席处、在体验操作时的深度匮乏处、在学习认知的模糊歧义处适时融入。笔者期待依托APP益智游戏教学满足学生“玩中学”的内在需求，把各种知识所表现出来的数学思想方法表层化之后通过游戏教学内化成自己的观点外化应用到问题解决中去，这也是符合未来数学教育改革的趋势。
【参考文献】
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