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分段函数教学之思考

发表时间：2021/4/1 来源：《基础教育参考》2021年4月作者：罗小菊

[导读] 数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。义务教育阶段的数学素养培养目标，是要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”。平常教学实践活动中，要寻找规律，举一反三，激发学生兴趣，实现“要我学”向“我要学”的转变，让数学素养的提高落地生根。

罗小菊四川省阆中中学校
【摘要】数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。义务教育阶段的数学素养培养目标，是要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”。平常教学实践活动中，要寻找规律，举一反三，激发学生兴趣，实现“要我学”向“我要学”的转变，让数学素养的提高落地生根。
【关键词】题源呈现、源头探究、迁移升华
中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-1128 （2021）04-060-03

        《2017数学新课程标准》明确提出：数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方面的不可替代的作用，应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，实现义务教育的数学课程能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础。数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”。课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系。课程内容的呈现应注意层次性和多样性。学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。
        基于此，像这样一些“阶梯电价、租车收费、分级计税、医保报销”等与生活息息相关的话题就成了中考的热点，常常又以分段函数的形式进行考查，学生遇到此类题目感觉贴近生活易于入手，但解答起来又不是那么的简单、完美、出错率较高，让一线教师困惑不解。下面笔者就分段函数这类型题目的教学实践谈几点体会与大家分享。
        一、题源呈现
        万丈高楼平地起，复杂的问题都是从一些根本问题产生而来。为解决分段函数这类问题，教学时教师应该从教材中寻找到分段函数的根，那就是《义务教育教科书数学五年级上册人教版》P16的分段计算。下面让我们一起来回顾教材，见截图：
        二、源头探究
        1.[探究方式一]
        为了很好地解决分段计算这类问题，设计了如下几个问题初步引导学生进行探究，并要求学生思考时把自己置于情境。
        ①3km以内与超过3km各表示是什么意思？
        ②出租车收费的标准是单一的吗？
        ③行程6.3km能只收7元吗？还是统一按每千米1.5元来收取费用？
        学生通过对这几个问题的思考与情境体验后，也就对分段计量有了初步的认识。
        教师顺势追问：
        ①根据题意，不足1km按1km计算又是什么意思？比如6.3km应当作多少km来计算？
        ②题目中分了几个计算段，计算段的分界点又是多少？
        ③7km被分界点3km分为哪几个计算段呢？
        ④其中的3km该怎样收费？剩下的4km又该怎样收费？费用一共是多少？
        学生按照这样的引导进行分段计算后，教师强调分段计算是指不按同一标准量来计算，而是分成多个标准量来计算，计算时所采用的标准量一定要对应各自的分段区域。
        先只换行程进行巩固训练，接着进行变式训练，其题目可以从分界点、收费标准任变化一个量来设置，计算出所收的费用，至于已知所收费用、分界点、与标准求行程，此处暂不设置。
        通过训练，与学生一道总结出分段计算这类题目的一般思考步骤：
        ⑴题中分界点是多少？
        ⑵各段内的标准量是多少？
        ⑶所给的数量被分界点分割成哪几段？最后进行对应计算。
        有了一般的思考方法后，可进行提高训练，题目可设置多个分界点让学生试手，如例1。
        例1：一景点按下表收费，现有35人应收费多少元？
        人数单价
        15人及以下每人5元
        超过15人但不超过30人的部分每人4元
        超过30人的部分每人3元
        解：15×5＋（30－15）×4＋（35－30）×3＝150元
        2.[探究方式二]
        回过头来再探最初教材上的例题，可以引导学生这样思考：
        7km的行程全按每千米1.5元收取费用，再加上前3km少算的。
        （如果前3km按每千米1.5元收取，则应收4.5元，而实际上前3km一共收了7元，少收了7－4.5＝2.5元）。
        则列式为：7×1.5＋（7－3×1.5）＝13元。
        根据教学活动实践发现，针对多分界点的分段计算的题型运用探究方式二这种思路来解比较麻烦，故常常采用探究方式一。
        总之，关于解决分段计算问题的关键就是要让学生弄清题目中分段形成的区域及对应区域的运算法则，比如例2。
        例2：如图，当输入的＝56时，则输出的＝          （答案：4×56＋7＝231）
        三、迁移升华
        有了前面的方法，我们将分段计算迁移升华到方程与函数中来，就是分段函数类型的问题。
        1.方程中的分段题型
        例3：某市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费，如果超过60立方米，超过部分按照每立方米1.2元收费，已知12月份某用户的煤气费平均每立方米0.96元，那么12月份该用户用煤气多少立方米？
        分析：因为12月份的煤气费平均每立方米0.96元>0.8元，所以该用户用的煤气量应该超过60立方米，可画出下列图示帮助学生理解。

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        解：设12月份该用户用煤气立方米．由题意，得
        0.8×60＋1.2×(－60)＝0.96
        解得＝100.
        答：12月份该用户用煤气100立方米．
        例4：参加医疗保险，住院治疗的病人享受分段报销，保险公司制定的报销细则如下表：
        住院医疗费(元) 报销率(%)
        不超过500元的部分 0
        超过500元但不超过1000元的部分 60
        超过1000元但不超过3000元的部分 80
        … …
        某人住院治疗后得到保险公司报销金额是1100元，那么此人住院的医疗费是(    )
        A．1000元                    B．1250元
        C．1500元                    D．2000元
        分析：由题意得，不超过500元时，不会报销费用。而该病人享受了费用报销，说明该病人的医疗费一定超过500元。又因超过500元但不超过1 000元的部分可享受的报销费用最大值为（1000－500）×60%＝300元<1100元，进一步说明该病人的医疗费一定超过1000元。
        为了帮助理解，画下列图示：
        所以设此人住院的医疗费是x元，则500×0%＋（1000－500）×60%＋（x－1000）×80%＝1100，得x＝2000，故选D。
        例5：(淄博中考)为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执行方案如表：
        档次每户每月用电量(度) 执行电价(元/度)
        第一档小于等于200 0.55
        第二档大于200小于400 0.6
        第三档大于等于400 0.85
        例如：一户居民七月份用电420度，则需缴电费420×0.85＝357(元)。
        某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290.5元。已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于400度．问该户居民五、六月份各用电多少度？
        解：设五月用电量为x度，则六月份用电量为(500－x)度，
        当五份用电小于等于200，六月份用电大于200小于400时，由题意，得
        0.55x＋0.6(500－x)＝290.5，解得x＝190.
        则500－x＝310
        当五月份、六月份用电均大于200小于400时，由题意，得
        0.6x＋0.6(500－x)＝300≠290.5
        所以该情况不符合题意。
        答：该户居民五、六月份分别用电190度、310度。
        2.函数中的分段题型
        为处理好函数中分段问题，可作如下的教学铺垫：
        例6：已知成本p（元）与天数x（天）的关系式如图，请写出p与x的函数关系式及自变量x取值范围。
        从4个图示中引导学生找到分界点，观察分界点两侧各是什么函数的图象，然后设为对应函数解析式的模式，再用待定系数法求解出来。（解答过程不赘述）
        在复合函数中，每单个函数的分段不一致，那复合后的函数的分段又如何处理？请看下例。
        例7：已知，其中m,n分别满足下列两个关系式：
        请写出w与x的函数关系式。
        在此例中复合后的函数的自变量x应处理为三段：、、。
        结果复合函数为
        有了以上的铺垫，再来解决中考题目，就相对轻松了，给大家分享一道中考题目。
        例8. 【2018四川眉山24】
        传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成.为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：
        y =
        （1）李明第几天生产的粽子数量为280只？
        （2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画.若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价-成本）
        解：
        （1）第10天
        （2）当时，
        当时，
        当时，设p与x之间的关系式为
        将（10，2）、（20，3）代入其中，得
              得
        ∴
        综上所述，
        当时，w的最大值为x＝6时，68×6＝508元
        当时，w的最大值为x＝10时，40×10+160＝560元
        当时，,
        ∵ x=13在范围内，且a=-2<0
        ∴当x=13时，w的最大值为578元
        综上因为578>560>508，所以第13天的利润最大，最大利润是578元。
        浩瀚的题海，唯有寻求规律，方能举一反三，以一挡十，让学生从苦学中解救出来，变为乐学，对数学的学习产生浓厚的兴趣，这样才能实现“要我学”向“我要学”的转变，才能让数学素养的提高落地生根。
参考文献：
[1]《2017数学新课程标准》
[2]《全国2018届中考数学真题汇总》