卓桂华
浙江省杭州市下沙中学 310018
摘要：用正方形、长方形拼出一个大矩形是对乘法公式、因式分解的一种用几何直观的解释。本文主要通过对学生拼图结果进行数量关系、图中正方形位置关系进行分析，归纳出此类拼图的操作方法：先摆正方形，等大摆成排，不等顶角摆，空填长方形。最后以此法解决相关问题，得到事半功倍的效果。
关键词：乘法公式，拼图，拼图方法
一、问题启源
（一）关于公式“”的拼图。
图1-1
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图1-2
现行浙教版数学教材七年级下册“3.4乘法公式”第二课时，通过“用两种不同的方法表示图1-1的的面积。”引出了完全平方公式。图1-1，是用了两个正方形（边长分别为a、b）和两个长方形（长、宽均为a、b）组成的拼图。几何拼图直观生动地揭示乘法公式具有的特征，通过“以形助数” 给孩子展示“数形结合”之美妙。用拼图的方法也可研究部分多项式因式分解，如在同一教材于第五章因式分解章末，编排了一道设计题，也是用一些正方形、长方形进行拼图实践探究，如图1-2。事实上，全国各地有不少老师为之开设数学实验课，进行过相关课例和解题研究。
（二）“拼图操作”中似“拼法多样”，实“思维无序”。
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图2
学生经过新课学习后，在完成“设计题”时，根据拼图能得到相应的因式分解，根据图形计算面积，顺向思维，难度不大。到 “继续进行以下操作”时，有的学生无法完成拼图，而拼出的图形，也时形态各异。即：“用图2中的纸片拼一个长方形”。拼出的长方形，可谓方法多样，收集了8种
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图3-1 图3-2 图3-3 图3-4
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图3-5 图3-6 图3-7 图3-8
拼图方法，如图3-1至3-8：为什么会有如此多样的拼法？是孩子的思维发散？还是孩子还没能学到这种拼图的诀窍，只是碰巧凑出来的？如果，我们的教学只是为了完成教材中设计题的问题，那么无需纠缠“是否拼凑”。本着务实求真，对教学负责，应该教给学生“探究精神”的原则，不能只满足于“拼出图形”，而要知道“怎样拼出图形”。
（三）研究“拼图”的课不少，但并不见“拼图”之法。
车树高老师在《乘法公式的拼图诠释》中重点帮助学生理解乘法公式，达到数与形的有机结合，提高学生镶嵌的实践技能。施凌燕老师在《例谈数学活动课中探究式教学任务的设置——以“拼图公式”一课为例》中重点探究了部分二次三项式的因式分解与拼得长方形边长的内在联系。姜晓岗老师在以“拼图公式”为例设计的实验课中，重点用“拼图”的方法解决因式分解的问题。孙朝仁、朱桂凤老师在《拼图：“因式分解”教学的另类尝试》中发现学生对因式分解的掌握情况不好，尝试用拼图的方法解决“因式分解”，只要能拼得长方形，就可完成因式分解，操作直观，想法新异，遗憾的是都没有给出拼图的“好方法”。徐一鸣老师在《数学实验教学需要漂亮的“最后一跃——对”拼图实验“教学的思考》的研究中，发现”不会拼图“是”拼图实验“中问题所在，试图给出”拼图“的方法，可“方法”描述冗长，操作性不够，或者说还没真正找到拼图的方法。
二、方法探究。
（一）关注数量关系，研究拼图本质。
以图3的8张图为例，观察各种不同的拼图，每个矩形都是邻边长分别为
，可见这些不同的拼图方法提示的相同因式分解：。把这些拼图方法归为一类的话，它们之间通过交换大、小正方形，长方形位置可相互转化。比如：将图3-1中右边一列将上面的小正方形与下面的长方形交换位置就得到图3-8。这些拼图有无规律可找？
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图4-1 图4-2 图4-3 图4-4
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图4-5 图4-6 图4-7 图4-8
（二）关注位置关系，寻找拼图规律。
还是以图3为例，为减少干扰，只观察正方形，只研究图中大、小正方形的位置，把图中的正方形均涂成阴影如图4：除了图4-4与图4-8，拼图中大小不等的两个正方形只有一个顶点重合，没有边重合，把这种位置的拼图叫顶角摆。而大小相等的正方形，有的图中有边重叠，有的无边重叠，但都摆在一行。再观察长方形，用长方形填满空缺部分，就拼出一个长方形。根据这样的规律，拼图的操作方法如下：“正方形先
图5-1 图5-2
摆，等大摆成排，不等顶角摆，空由矩形填”，简化如图5。此时，只要把拼出的长方形（如图5-2）中的方形、小长方形适当的交换位置，就可拼出图4-4、图4-8，甚至图4-1至图4-7。
综上，拼图的操作方法：正方形先摆，等大摆成排，不等顶角摆，空由矩形填。
图6
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三、“拼图”方法指导“拼图”，事半功倍。
例1．如图6，边长为x和1的正方形纸片各2张，邻边长分别为x和1的长方形纸片4张，请用这些纸片拼成一个长方形。
分析：根据拼图方法知，大正方形摆成一排，小正方形摆成
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图7-1 图7-2
另一排（列），如图7-1、图7-2，有两种方法。图7-1，需要四个长方形填空，图7-2只要5个长方形填空，所以图7-1满足题意。则拼图为右图，因式分解的等式为：。
例2．用拼图的方法探究多项式2x2+5xy+3y2因式分解的结果。
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图8-1 图8-2
分析：本题意图不在“十字相乘法分解因式”，希望能把问题转化成“用边长为x的正方形纸片2张，边长为y的3张，邻边长为x、y的长方形纸片5张拼成一个长方形，并根据长方形面积写出个因式分解的等式。”根据拼图方法：边长为x的正方形拼一行，边长为y的正方形拼成另一行（列），如图，显然图8-1符合题意，等式是2x2+5xy+3y2=(2x+3y)(x+y).
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图9-1 图9-2 图9-3
例3．现在有3张边长为x的正方形、4张边长为y的正方形纸片，还需要多少张邻边长分别是x、y的长方形纸片能拼出一个大长方形，这些纸片刚好用完？
分析：根据拼图方法可得下图拼法如图9-1，需长方形7张，图9-2，需13张，图9-3，需8张。
2×6
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图10-1 图10-2 图10-3 图10-4 图10-5
3×4
图10-6 图10-7 图10-8 图10-9 图10-11 图10-12
例4、用边长为x和边长为y的正方形及邻边长分别为x、y的长方形三种纸板共12张恰能拼成一个长方形，问一共有多少种不同的拼法（面积相同的视作同一种拼法）
分析：根据拼图方法得如此，可得11种不同拼图。当大、小正方形纸片数确定时，如前3道例题，依据拼图方法，在“等大摆成排”会有“摆成行”或“摆成列”的至少两种况需要讨论，特别是例3中，当等大的正方形个数比较多时，还会有“摆一行”与“摆多行”的情况，讨论的情形会更复杂。
图11
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我们还能发现，用这种方法拼出的长方形，都可以分割成若干行与若干列，每行每列都是长方形，每行每列都是由条件中的正方形与长方形纸片拼得，分割的总块数就是大、小正方形与长方形纸片数总和。如图11，它有四行，前三行每行都是的长方形，由2个长方形和1个小正方形拼得；第四行是的长方形，由2个大正方形和1个长方形拼得，每列亦如次。4行3列共12块，正是大正方数数量2与小正方形数量3及长方形数量7的和。
因此，例4中虽然不知道大、小正方形各有几张，但知道正方形与长方形纸片总数为12，利用“行数列数=12”，可以把拼得的长方形按“2行6列”和“3行4列”两种情况进行讨论，再根据拼图方法“正方形行摆，等大摆成排，不等顶角摆，空有矩形填”，便可得到例题4的解法。
四、结束语。
首先，我们已经能用拼图的方法解决正整数系数的二次三项式在有理数范围内因式分解问题。例如“将多项式分解因式”，如果不会“十字相乘法”，则把它转化为“用2张大正方形，3张小正方形，7张对应的长方形纸片拼成一长方形”的问题，利用例4的经验，12=26=34，此题大、小正方形只有5张拼不出6列，所以只能拼成“小正方形3个一行，大正方形2个2行，拼得的长方形就是3行四列”，达到解决问题。
其次，作为教材上“边角料”上的内容，也值得我们去思考和探索。学生的高阶思维如何训练，当然可以参加数学竞赛或竞赛培训，探究一些简单数学问题的本质或规律的活动也有助于提升我们的思维品质。新的课程标准提及的“基本活动经验”是怎样获得呢？仲秀英老师在认为有些经验就是方法性知识，在我们的数学活动中，关注数学方法，探究数方法就是在获取“活动经验”。
最后，在数学的教学活动中老师最应该交给孩子的是“探究精神”。如果老师能带上孩子们，在数学课本中偶尔能发现一些别人发现不了的东西，相信孩子会喜欢数学的。“创新”对于一个民族、一个国家的强胜的作用不言而喻，如果没有探究精神，何来创新。
参考文献
【1】乘法公式的拼图诠释，车树高，中学数学杂志，2008年第2期；
【2】促进学生积累数学活动经验的教学策略，仲秀英，数学教育学报，第19卷第5期；
【3】聚集“基本数学活动经验”，顾继玲，数学教育学报，第25卷第1期；
【4】例谈数学活动课中探究式教学任务的设置，施凌燕，上海中学数，2017年第3期；
【5】例谈数学实验活动的设计，姜晓岗，教学研究，2009年第11期；
【6】拼图：“因式分解”教学的另类尝试，朱桂凤、孙朝仁，名室荟萃，2013年9月；
【7】数学实验教学需要漂亮的“最后一跃”——对“拼图实验”的思考，徐一鸣，数学教学通讯