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多点触控感悟数形结合的魅力

发表时间：2021/4/7 来源：《比较教育研究》2021年2月作者：胡俊平

[导读]

胡俊平金华市银湖小学
中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1003-7667 （2021）02-113-01

        “数形结合”思想就是使抽象思维和形象思维相互作用，把抽象难懂的数学语言、数量关系与直观形象的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使相对的复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。在我们的小学数学教学中，如果能注重数形结合思想，有利于培养学生从不同角度认识并解决问题，也有助于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。下面我以北师大版五年级上册“点阵中的规律”的教学为例，谈谈我的教学实践和思考。
        一、“形”“数”触控——横看成岭侧成峰
        【片断一】
        师：（出示正方形点阵图）请同学们利用自己手中的点阵图认真观察，活动要求：
        (1)静静地思考，从不同角度观察正方形点阵。你发现点阵中有哪些不同的排列规律，并在图中表示出来。
        (2)组内交流，说一说你发现的排列规律，试着用算式表示出来。
        生：图形中点的个数1，4，9，16，25……这些有规律的数，分别可以用算式：1×1，2×2，3×3……，它们都是完全平方数。
        师：这些点布成了方阵，你是从每行的个数和行数这一角度来观察的，你还可以从什么角度进行观察？
        生：我们还可以斜着看
        师：看来斜着看也还别有一番天地，也有它自己的规律。
        生：拐着弯看 1=1，4=1+3，9=1+3+5，16=1+3+5+7，
        师：那么接着第五个图形呢？你能用哪些算式来表示？第N个点阵呢？
        生:分别可以用5×5, l+2+3+4+5+4+3+2+1, 1+3+5+7+9算式来表示
        第N个可以用 N×N, l+2+3+4+…+N+…+4+3+2+1, 1+3+5+7+9+…(N个连续奇数的和)。
        师:一个正方形点阵,刚才我们从三个不同角度去观察,得到了三个不同的规律,也许再换一个角度去观察,还可以得到新的规律。
        师：这三个不同的算式诠释的是同一个点阵，因此这三个算式我们可以用等号相连，N×N=l+2+3+4+…+N+…+4+3+2+1= 1+3+5+7+9+…(N个连续奇数的和)。那么下面的式子你会求吗？
        （1）l+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1
        （2）1+3+5+7+9+11+13+15+17
        ……
        正方形的点阵为学生充分感受数形结合的魅力提供了很好的素材，学生通过观察、推理、思考，探究图形的秘密。五年级的学生已有一定的认知基础，所以一开始看到这一点阵图的直觉反应就是这是一个正方形，能用N×N来进行计算，这一直觉有时也会阻碍学生的思维，让学生在独立思考、小组交流中实现自我突破，从而领悟到图形中蕴含的“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的点阵图形的魅力。

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        二、“形”“形”触控——无边光景一时新
        【片断二】
        师：（出示上面三个点阵图）刚才我们分别研究了正方形点阵、长方形点阵和三角形点阵，现在老师把这每组中的第五个点阵集中到一起，你又有什么发现?
        生：长方形点阵只是在正方形点阵中加了一列，因此这个长方形点阵我们还可以用5×5+5来进行计算，同样长方形点阵去掉一列就是一个正方形点阵了。
        生：三角形点阵就是这个长方形点阵的一半，三角形点阵的个数可以是长方形点阵5×6÷2＝15
        生：都斜着看的话，我们可以发现都是一个数一个数增加的，
        正方形阵l+2+3+4+5+4+3+2+1
        长方形阵l+2+3+4+5+5+4+3+2+1
        三角形阵l+2+3+4+5
        我知道了像这样中间这个5加了两次就可以排成一个长方形，长为6，宽为5，因为5加了两次，就多出一排了。
        师：那么你能找出第N个点阵它们之间的相互联系吗？
        生：第N个正方形阵是N×N，长方形阵就是N×N+N，三角形阵就是N×N+N÷2
        ……
        正方形点阵、长方形点阵、三角形点阵各自独立但又相互联系。学生在经历横看，斜看、拐着看，发现各自点阵的规律后，我设计了让学生把这三个图形联系起来看，学生与生俱来的对图形的敏锐的观察力在这里得到淋漓尽致地表现。
        三、“数”“数”触控——柳暗花明又一村
        【片断三】
        师：我们把长方形点阵和正方形点阵结合在一起看，又发现了长方形点阵新的规律。（出示：N×（N+1），2+4+6+…+2N ，N×N+N ，l+2+3+4+…+N+N+…+4+3+2+1）那么，你们能结合图形的秘密来寻找一下这算式间的奥秘吗？
        生：我发现其实N×（N+1）就是等于N×N+N，它们就在于乘法分配律的应用。
        生：l+2+3+4+…+N+N+…+4+3+2+1就是等于2×（l+2+3+4+…+N），也就是两个三角形点阵。
        生：2×（l+2+3+4+…+N）也就等于2+4+6+…+2N，也是乘法分配律。
        师：我们从乘法分配律的角度知道了这两组算式间的本质是相通的，N×（N+1）和2×（l+2+3+4+…+N）都是描述长方形点阵的，它们又有什么相通之处呢？
        生：因为l+2+3+4+…+N是一个等差数列，l+2+3+4+…+N=（1+N）×N÷2
        所以2×（l+2+3+4+…+N）=2×（1+N）×N÷2= N×（N+1），其实结果也都是一样的。
        生：我们也可以把它放在三角形点阵中去算，l+2+3+4+…+N就是三角形点阵的规律，三角形点阵是连续自然数的和，长方形点阵就刚好是他两倍，也就是连续偶数的和。跟我们前面学习的长方形，三角形的面积关系也好像是一样的。
        师：条条大路通罗马，虽然我们从不同角度去观察、去发现，得到了不同的结论，但它们的本质是相通的，只要我们善于思考，就能发现其中的秘密。
        ……
        借助形与形的沟通,对形与形之间的联系有所感悟后,让学生再来解读这些算式之间的本质联系,完成“以形释形”后再进行“以数释数”的建构。在点阵的帮助下，学生再一次理解了乘法分配律，再一次从中悟出了等差数列的求和方法，实现了从形到数的飞跃，学生的思维在这里得到尽情绽放，不仅培养了学生的逻辑推理能力，也发展了学生思维的严密性、灵活性、创造性。
        “点阵中的规律”这一课的教学中我尤其注重渗透“数形结合”的思想，让学生充分感受“数形结合”思想的魅力，充分合理地掌握数形结合思想，将为学生后续的学习提供无穷的力量。