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分段函数常见题型例析

发表时间：2021/4/7 来源：《课程-教材-教法》2021年3月作者：韩学伟

[导读] 所谓“分段函数”是指在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数．分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；书写时用花括号把各段函数写在一起，并注明各段函数的自变量的取值范围。

云南省保山市昌宁县柯街中学韩学伟 678103

        所谓“分段函数”是指在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数．分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；书写时用花括号把各段函数写在一起，并注明各段函数的自变量的取值范围。分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集．其值域等于各段函数的值域的并集．分段函数图像依据自变量的不同取值范围，分段画出函数的图像.
        分段函数是近几年高考的热点内容，涉及求分段函数的函数值、最值、奇偶性、单调性等问题，解答这些问题中渗透了分类讨论、数形结合等多种数学思想方法。现就分段函数的常见题型例析如下：
        1、作分段函数的图像

          2、求分段函数的定义域、值域


        评注：求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后根据所在定义域代入相应的解析式，逐步 “由内到外”逐一求值.
        4、求分段函数的解析式
            、
        评注：求分段函数的解析式时，分别求出定义域内各段对应的解析式，再组合在一起，要注意各区间的点要“不重不漏”求哪个区间的解析式，就把设在哪个区间上.
         5、求分段函数的最值

        评注：求分段函数的最值时，先分别求出每个区间上的最值，然后通过比较取其中最大(最小)；也可数形结合法作出函数的图像，观察即得.
        6、判断分段函数的奇偶性

        评注：判断分段函数的奇偶性时，先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇(偶)函数，若定义域是关于原点对称再分段判断，也可画出分段函数的图像，转化为图像的对称性进行判断.
        7、判断分段函数的单调性

        评注：判断分段函数的单调性时，首先应该判断各段函数的单调性，若每一段函数单调性一致，再判断分界点处函数值的关系，符合单调性定义，则该函数在整个定义域上单调递增或递减，不符合，则必须分段说明单调性．
        8、分段函数与不等式

        评注：方程的根与函数的零点是一一对应的，在新课标教材中，这是一个基础的知识点，其中含参问题更是高考热点.
        10、分段函数的应用问题

评注：实际问题中分段函数的模型是高考考查分段函数的重点.
以上各类题型的分析中,不难得到分段函数在考查中的一种解题的重要途径是：若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解,使问题得到大大简化, 效果明显.