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整体视角下数学空间思维能力培养的课堂教学设计以《正方体表面涂色问题》为例

发表时间：2021/4/7 来源：《课程-教材-教法》2021年3月作者：沈雪艳

[导读] 《义务教育数学课程标准》（2011年版）指出：“空间与图形的教学应注重知识学习与日常生活的紧密联系，应注重使学生在观察和操作活动中获得对简单几何体和平面图形的直观经验”[① 教育部.义务教育数学课程标准(2011)[S].北京人民教育出版社,2011.]。

广东省东莞市南城阳光第二小学广东东莞沈雪艳 523000

       《义务教育数学课程标准》（2011年版）指出：“空间与图形的教学应注重知识学习与日常生活的紧密联系，应注重使学生在观察和操作活动中获得对简单几何体和平面图形的直观经验”[① 教育部.义务教育数学课程标准(2011)[S].北京人民教育出版社,2011.]。小学“正方体表面涂色问题 ”是人教版五年级下册第三单元《长方体和正方体》中的一节活动探究课，是新增加的综合与实践内容，在学生学习了长方体和正方体的特征，以及表面积和体积之后所进行的。
        学习“正方体表面涂色问题”的目的是让学生利用所学的正方体特征知识，探索由小正方体组成的大正方体中各种涂色小正方体的数量，找出其中所含的数量规律，以及每种涂色小正方体的位置特征。旨在于培养学生的空间想象和推理能力，体验分类计数的思想。
        “正方体表面涂色问题”属于空间与图形领域，本阶段的学生虽然对正方体的特征已了然于胸，但对于表面涂色的大正方体每条棱等分若干份后，各小正方体表面涂色情况，还是一个新问题、新挑战。
        1 教学设计
        问题1 读完课题，你想到什么问题？
        问题2现在你又能提出什么问题呢？（多媒体展示一个六面都涂上颜色的正方体如图1，图2）

                                                             图1                                                     图2
        设计意图:问题由情境衍生而成，问题的驱动往往使数学的教学有了进一步的发展。“现在你又能提出什么问题呢 ”这是用启发性提示语启发学生，可以看到，学生想到了之前学过的正方体表面积问题，提出了该怎么去给正方体涂色以及涂色方法有没有规律等问题，这时教师在多媒体上展示了一个六面都涂上颜色的正方体，再次提问学生，激发了学生的探究欲望，为下面的学习做铺垫。
        问题    （1）这里的小方块一共有几种？
        （2）不同的小正方体分别有多少个？
        （3）不同的小正方体分别在什么位置？
        设计意图:让学生自己独立研究，可以借助小方块，也可以在脑子中把图中的小方块拆开。这正体现了数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀。这一环节充分发挥直观教具的作用，组织学生实验、操作、尝试，引导学生观察、分析、判断，使学生在经历充分动手操作的过程中，逐步积累数学活动经验[② 程婵.在磨课中生成破解教学难点的智慧——苏教版“表面涂色的正方体”磨课记[J].课程教育研究,2017(38):143-144.]。
        从学生回答中，我们可以看出，学生在计算0面涂色的正方体时出现计算错误的情况，她的第一个思路是用小正方体的总数减去1面涂色的个数、2面涂色的个数和3面涂色的个数，但是发现计算出的结果与自己的猜想并不一致，于是最终说出0面涂色的个数是1个。从学生的行为可以知道，这是同学们在计算个数时容易出错点，教师在讲授该部分时应格外注意，如何引导学生意识到是怎么样出错的十分重要。大正方体表面涂色后，小正方体表面涂色有四种情况：3面涂色、2面涂色、1面涂色和0面涂色。这其中存在着一个数量关系，即0面涂色的小正方体个数等于小正方体的总个数减去3面、2面和1面涂色的小正方体的个数。学生的回答当中也涉及到用总个数减去其余小正方体的个数，最后得出0面涂色小正方体的个数，教师在这里注意向全体学生强调该种算法，既对总块数的把握，从整体的视觉去观察大正方体，也对这四种情况的小正方体进行关联性的分析。所以，综合分析和把握，使学生有机会从另一个角度了解正方体的特征，自然提高学生的数学素养。
        学生能说出3面涂色的在每个顶点上，2面涂色的在棱上，0面涂色的小正方体在大正方体的中心，能用精确的语言来描述0面涂色的小正方体的位置，这是不错的表现。通过数学语言的归纳概括，体现出数学的简洁美。
        问题1 刚刚我们一起研究了棱长为3的正方体表面涂色的问题，那现在，你觉得又能解决什么问题？
        问题2 （1）棱长为4，每种面的小正方体分别有几个？
        （2）棱长为5呢？
        设计意图:研究完棱长为3的正方体表面涂色问题后，教师顺势提问学生“刚刚我们一起研究了棱长为3的正方体表面涂色的问题，那现在，你觉得又能解决什么问题”，这是更深层次的提问，旨在于引导学生提出研究棱长更大的正方体表面涂色问题。只观察正方体其中一面的情况，再根据规律得出整体情况，很快地说出了棱长为4、棱长为5的正方体涂色面不同的小正方体的个数。
        问题1 （1）0面涂色的在哪？（多媒体展示一个六面都涂上颜色的正方体如图3）
        （2）几个？（多媒体呈现0面涂色部分，如图4）

        设计意图: 在这里出现了两个24，2面涂色的小正方体个数是24个，1面涂色的小正方体个数也是24个，教师询问学生：“这个24，这个也24，怎么会相等啊？”，这个问题引发了学生思考，虽然是相等，但是它们的式子是不一样的。在讨论棱长为5的涂色规律时，学生23大胆分享了自己的想法，他用棱数乘以5，再减去顶点数×3，学生考虑到了每一个顶点都重复算了3次，所以要减去8×3。学生会动脑筋去想、去思考，表明了学生认真上课，全身投入学习，真正地去思考。
        虽然教师可以借助于多媒体，直接向学生展示棱长为3、4、5的正方体表面涂色情况，再借助动画效果展示出不同涂色情况的小正方体的个数和位置，直接让学生观察，但是华老师没有这样做，他通过动手活动的形式，让学生亲生体验探究的过程，收获动手动脑去获得成功的经验。
        问题1 现在研究完了棱长为3、4、5的情况了，你能不能发现什么规律吗？
        问题2 上看、下看，左看、右看。想想，你从上往下看，你就能发现什么？
        设计意图: 教师提问学生：“现在研究完了棱长为3、4、5的情况了，你能不能发现什么规律吗？”，上一环节对棱长为3、棱长为4、棱长为5的表面涂色的正方体的研究成果，教师没有做过多的解释，而是又把问题抛向于学生，启发学生回过头来去思考：“研究完了之后，你能不能发现什么？”这就又一次激发了学生的兴趣，促进学生积极主动地展开再思考与再研究，进而发现正方体表面涂色的规律。因此，我们在教学的过程当中，学生自己能提出的问题，教师就让学生自己提出，学生自己能完成的任务，教师就交给学生完成，让学生真正做到是课堂的主人，教师则是引导者，促进者，要充分发挥学生的主观能动性。
        学生在回答正方体的表面涂色规律时，一开始先阐述棱长为3、棱长为4、棱长为5的涂色规律，接着推广到棱长为n的正方体表面涂色规律，且能用规范的数学语言来表述。规律的表达是学生基于问题解决的自然诉求，从一开始学生的口语化表达过渡到用规范的数学语言表征，这是走向数学符号表达的必经之路，而符号表达则是探索规律中数学建模的核心指向。因此，在这里教师需要正确地引导学生。
学生在发现一般规律的共同属性后，需要提高学生的认知深度。用数学符号表示这类数学问题的一般规律尤为重要。让规律从直观的感知过渡到算术的表达，最终实现抽象的符号表达。培养学生的抽象逻辑思维和符号表达在数学教育中具有重要的价值。
       师生交流讨论，在汇报交流的过程中可以看到，活动的主体是学生，学生自己总结正方体表面涂色的规律（如图5），而不是教师帮学生总结，教师的话不多，只是起到了组织和引导的作用。这体现了“学生是活动的主体，教师是教学的向导”这一思想。

        2反思总结
        学生在前面的学习中充分接触了长方体和正方体的相关知识，本节课在此基础上安排了一节活动探究课“正方体表面涂色问题”。本教学案例是一节精彩的活动探究课，在教师的引导下，学生动手操作，在实践中探索涂色规律。先对棱长为3、棱长为4、棱长为5的正方体表色涂色问题进行研究，探索由小正方体拼成的大正方体中各种涂色小正方体的种类、个数和位置，再延伸到棱长为n的正方体表面涂色规律。通过多媒体动画的直观感受，使学生最大限度地发挥主观能动性和创造性，像真正的数学家一样，努力发明和发现数学，从而获得宝贵的经验。