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化归与转化思想在解决立体几何问题中的应用

发表时间：2021/4/7 来源：《教育研究》2021年1月作者：张国伟

[导读] 立体几何是高中数学的重要内容之一，在立体几何中应用化归与转化思想在促成学生提升学生直观想象、逻辑推理素养方面有着重要的作用.

陕西省神木中学张国伟

摘要：立体几何是高中数学的重要内容之一，在立体几何中应用化归与转化思想在促成学生提升学生直观想象、逻辑推理素养方面有着重要的作用.
关键字：化归与转化思想；数学核心素养
        众所周知，数学思想是数学方法的归纳提炼，数学核心素养是数学思想的升华内化。因此数学思想在发现数学问题、分析数学问题、解决数学问题起着重要的指导作用。本文主要谈谈“化归与转化思想”在解决立体几何问题中的应用，期盼能对立体几何的教学和备考起到抛砖引玉的作用，不妥之处敬请指正。
        一.化归与转化思想
        化归与转化思想是在研究和解决数学问题时借助数学知识和数学方法，将问题进行转化，使抽象问题具体化，复杂问题简单化，未知问题已知化，进而达到解决问题的数学思想。
化归与转化的思想是解决数学问题时经常使用的基本思想方法，它的主要特点是灵活性与多样性。一些数学问题，由于其结构复杂，解法多样，没有统一的模式可以遵循，可以通过问题要素间的相互依存和相互联系，根据问题的要求，寻找合适的转化途径和方法，解决问题。化归与转化在解决问题中应用广泛，是高考考查的重点。
        二.立体几何中“化归与转化思想”的理论基础

         三 “化归与转化思想”在解决立体几何问题中的应用
        1解决平行问题
        例在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE：EB=AF：FD=2：3，又H，G分别为BC，CD的中点，求证：四边形EFGH是梯形.

        解析：欲证四边形EFGH是梯形，结合已知条件只需证EH//FG且EHFG.直接证明EH//FG显然不太好实施，这就想到平行公理，转化为证明EH//BD，FG//BD会很容易.根据以上分析
        建立转化模型1：解决a//b问题转化为解决a//c，b//c问题，实现了化难为易的目的.
        2解决垂直问题

根据以上分析

3解决空间距离问题

          解析：欲求点E到底面ABCD的距离不易，结合已知条件转化为点P到底面ABCD的距离的1/3,根据等体积法易得点P到底面ABCD的距离为6，所以点E到底面ABCD的距离为2.
        根据以上分析
        建立转化模型3：求点P到平面的距离，可转化为求与点P有关联的另一点到平面的距离，实现了化未知为已知.类似的转化还有求空间几何体的体积问题，如该题还可以求三棱锥P-ACD的体积.

4解决空间角问题

解析：易得平面PBC//平面OEF，所以欲求平面EOF与平面ABC所成夹角的余弦值，可转化为求平面ABC与平面PBC夹角的余弦值.
根据以上分析

几何中的平行类似代数中的相等，代数运算中常利用等量代换进行变形、化简，进而求解；几何问题中常利用平行关系进行转移，从而将问题转化，达到柳暗花明又一村的效果.
参考文献：
[1]李海东.重视研究立体几何图形的过程与方法，发展直观想象、逻辑推理素养[J].中学数学教学参考（上旬），2020（7）：10-15.
[2]普通高中数学课程标准[M].2017年版2020年修订.