浙江宁波余姚市长安小学   孙立群 315400

        一、问题起因
        一次新课后，学生在做一道关于“外圆内方”的面积练习题时，一位优等生细声地问道：“内方的面积是不是直径×半径”她的疑惑引起了笔者的关注。
        “外圆内方”练习题错例情况统计表

        面对学生的错误，笔者陷入了思考。
        二、我的思考
        （一）只“忆”难知“意”。
        错例分析谈话时，笔者问及在“外圆内方”中，不知道正方形的边长时，怎么求正方形面积呢？学生普遍反应一知半解猜公式。三角形面积或其他图形的面积公式推导都是通过剪拼等方法转化成长方形面积计算进行的，学生受思维定势的影响，很难想到根据图形之间的关系可以有由求三角形的面积去求正方形的面积。但几何的学习，并不是对公式的记忆，更重要的是对计算过程方法意义的理解，只有对知识本质内涵的理解，才可灵活变通。
        （二）在“静”难再“动”。
        正方形的面积计算学生并不陌生，可两者结合需要联系起来进行比较、分析、计算时，学生表现出不知所措。解决外圆内方图形时，需要明确圆与正方形内在联系，正方形的对角线长度是圆的直径，将正方形转化成三角形或长方形进行计算，这个过程中，需要将静态的图形进行转化、分割或重组，对小学学生而言，如果只通过观察、推理、想象等活动要把抽象的、隐性的知识变得直观、具象难度比较大。因此，改变教学策略，关注学生“最近发展区”，才是课堂教学的首要任务。
        为此，笔者采用以下教学模式：操作感悟—表象内化—计算推理—想象创造环节在另一个班里进行了课堂实践。
        三、课堂实践
        片段一：加强操作，直观表征。
        教师为对同桌准备一张直径为10cm的圆纸片和边长为10cm的正方形纸片。
        出示要求：
        （1）折：在圆纸片中折出一个最大的正方向，正方形纸片中画出最大的圆，并用笔描出折痕。
        （2）画：在学习纸上画出折后的草图。
        （3）说：同桌之间互相说一说自己的发现。
        发现结论：正方形中画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长；圆中画最大正方形，正方形的对角线的长度等于圆的直径......
        【意图：在折一折、描一描、画一画中直观感知外方内圆与外圆内方的图形之间的关系，在图形表征过程中加深对知识的理解，在交流过程中激活思维。】
        片段二：启发想象，化“静”为“动”。
        师：除了将正方形面积转化成三角形面积进行计算，还可以怎样思考？发挥你的想象，把你想到的画下来，如果有困难，你也可以借助学具剪一剪，拼一拼。

       
        【意图：边想边操作的过程中，感受到静态的几何图形也可以变得动态，感悟到转化过程中形状变了面积不变的思想。】
         片断三：推理验证，沟通联系
         师：正方形通过剪、拼还能拼成长方形呢！
         生：哦！这个长方形是外方的一半。
         生：它们的面积比是1：2。
         生：圆内方的面积是圆外方面积的一半，也就是说外方面积是内方面积的2倍。
         师：原来图形之间还隐藏着这样的秘密呢！通过操作还能把图形看得更深。（右图动画演示）   

                
         师：你还有其他方法验证大正方形面积是小正方形面积的2倍吗？
          ......
        【意图：通过猜想、推理、验证、计算大正方形和小正方形的面积比，形成初步的推理能力、想象能力和科学严谨的思维态度。】
         片段四:拓展练习,内化提升
         教师出示:下图有许多个大小一样的正方形铁皮,从每个正方形中切割出同样大小的圆，哪种切割方法余下的废料最多？                                                                                              

         .....        
        1.估计
        师:估一估,你认为哪种方法余下的废料会少一些?
        生:切割出的圆越多,余下的废料少。
        生:我认为余下的一样多。
        2.尝试验证。

        方法一：假设法验证
        方法二：逻辑推理法
        生：外方内圆的图形，圆面积和正方形面积比是π：4，把大正方形也分成一样大的正方形，每个小圆和小正方形的面积比也是π：4，小圆面积和与小正方形面积和的比还是π：4
        3.总结规律
        师：有规律排列的图形，圆面积之和都是大正方形的面积比是π：4.
        4.想象创造
        在不改变图形面积关系的情况，在这个正方形中，你能创造出其他漂亮的图案吗？
                                      ......
       【意图：通过合情推理、逻辑推理、想象创造等练习过程，在知识与技能获得的同时，想象力，几何直观等思维能力也不断丰富。】
        三、教学反思
        在教学中，笔者始终遵循学生的认知特点，以学生的最近发展区开展教学，做到了以下三方面的突破。
        （一）活用教材，化静为动。
        本课，笔者试着对教材进行了整合。将新授教学“圆与正方形之间的面积”计算，练习课中圆、正方形间的面积规律探究及总复习中面积规律运用进行整合教学。一方面，将分散的静态的知识点以线性结构进行对接，丰富知识内涵；另一方面，教学中笔者也发现相比不同情境下的多次练习讲解，学生更乐意尝试在主题式的探究活动中主动获得。
        （二）动手操作，积累经验。
        图形与几何的教学是培养学生空间观念及几何直观的主要阵地。在教学中，借助几何直观进行对知识的沟通联系并帮助理解，并非只是数与形的结合。这个过程需要学生在操作中获得体验，在体验中获得感悟。然而现代信息技术的发展，很多操作被多媒体技术代替，学生常常在“看中体验，观中获得”。这样的学习容易导致学生“一看就会、一说就乱、一写就错”的现象。在探究圆与正方形的关系时，为避免这一现象的发生，笔者引导学生多次进行动手操作、图形表征，将抽象的知识具体化。学生先通过折、画图形表征圆与正方形边之间的关系，再通过剪、拼、算等方法推导圆与正方形间的面积关系，然后尝试沟通外方内圆与外圆内方图形与图形间的关系，发现规律；最后在练习中运用规律、创造图形。整节课以操作为介，以思维为本，在操作中感性获得，在推理中理性内化，数学经验就在“动”与“静”的结合中积累了。
        （三）想象创造，学深悟透。
        创新意识的培养离不开质疑、想象、推理，创新思维的发展需要借助想象。本节课的教学中，笔者不但关注了“动手操作”的形式和难度，还结合了“动手操作”与“想象表征”建立关系。在折、画正方形和长方形之前先让学生想象，在探究内方面积计算前尝试先想象再操作，创造新图形时也在想象的基础上操作，这样避免学生操作活动的盲目性和虚假性，让学生在先想后做，边做边想，再动再思不断进行数学化的思考和想象活动的内化，促进空间观念、逻辑思维、几何直观等数学思想的发展。
        总之，小学几何课堂教学应从学生的实际出发，精心设计问题，鼓励学生动手操作，多思多想，方能学深悟透。
参考文献：
[1]邵光华.作为教育任务的数学思想与方法[M].上海:上海教育出版社,2009:137-140.
[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[2].北京：北京师范大学出版社，2012
[3]郜舒竹.小学数学这样教[M].上海:华东师范大学出版社,2015:124-128.