廖红艳 重庆市万州第二高级中学重庆市 404000
【摘要】四边形最值问题，是中考几何部分常见问题。以四边形为背景，从最值问题的属性、特征、理论依据入手，抓住问题核心，用转化法、构造法和坐标法三种方法，从不同角度为问题的切入点，解决直线型最值问题．
【关键词】四边形 最值 转化法 构造法 坐标法
中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-2051 （2021）5-070-02
四边形最值问题是几何最值问题中较常见的．以四边形为题设背景，常借助图形运动、变换或结合函数等形式呈现，从最值问题的问题属性、问题特征、理论依据为切入点，解决直线型最值问题，以下面问题为例．
如图正方形ABCD边长为２，E为AB上任意一点（含A、B两点），分别过点A、B、C作射线DE垂线，垂足分别为F、G、H，求AF+BG+CH的最值.
一、转化法
最值一般涉及一个或者多个变量，处理策略则是多变量转化单变量，化“折”为“直”等。题中求解三个变最和的最值，条件中有三个垂直、全等模型、相似、三角函数等特殊的数量关系，所以本题切入手口较多。
先从相似入手。我们易得△BEG～△AEF～△CDH,且BG、AF、CH是对应边，所以有,不妨设BE=a,则有,即有
,这样就将三个变量的最值转化为一个变量的最值问题。接下来,当E、A重合时，CH最长，此时CH=2；当E、B重合时，CH最短，此时CH=.所以，。
再从三角函数入手。我们知道条件中三角形均为直角三角形，且∠1=∠2=∠3=∠4，在中;同理得,
,即有，所以
，这样将三个线段的和转化为关于∠1的正弦函数的最值问题。而，则有.所以，.
以转化思想为主线，利用共线、图形变换、特殊数量关系、基本图形作为载体，从不同角度切入，呈现转化思想在四边形最值问题求解中的多维运用，将四边形最值问题中的多个变量转化为少个变量或单个变量解决问题。转化的方向不是漫无边际，要抓住问题的本质，直抵核心，让转化如臂使指。
二、构造法
构造法是数学解题中的常用法。以前面的例题为载体，从构造的角度，挖掘条件，感受所求问题与“赵爽弦图”、“等积法”等已学知识间联系，构造特殊四边形和三角形解决问题，掌握构造法解决直线型最值问题的基本策略。对不同解法进行对比分析，找出异同点，归纳本质，优化学生思维，发展直观想象、逻辑推理的学科素养。
图1 图2 图3
首先，三条线段都随着E点运动而变化，但其中不变的是CH、AF、BG都垂直于DE的，而这个图形可以联想“赵爽弦图”，过点B作CH的垂线交CH于I点（如图1），构造赵爽弦图的基本图形，得到四边形BGHI为矩形，从而得到BG=HI,即IC+BG=CH,最后得.从而得到最值。另外，我们可以延长BG,过A作AP⊥BG交BG的延长线于P（如图2）,构造矩形GFAP,AF=PG，接下来只需证,最后实现BG+PG=CH。另外，延长GB,过点C作CQ⊥BQ交于点Q（如图3）, 构造矩形GHCQ,GQ=CH,最后也可求得最值。
这三个方法虽构造方法不同，殊途同归，通过特殊四边形的构造，将所求的线段进行转化，实现三条线段和转化两条线段和或一条线段长的目的。
由于这三条线段是变化的，不变的是垂直，那我们可联想到“高”，从而联想到“等积法”。如何构造三角形，应构造哪些三角形呢？由于AF、BG、CH与射线ED垂直，所以联结EC、DB,构造△AED、△DEB、 △DEC,且这三条线段都是三角形的高。我们知道=
,即.同时=2,即有CH=,那么，,只要求出DE最值即为
以问题的条件或结论为构造的依据，寻找切入点。“先有问题再寻可构造模型”，本质上就是构造特殊四边形或三角形，进行截长补短或等积转化来实现解题；通过方法的内化实现思维的提升。从构造法的解题策略出发，深入剖析了变化中不变的元素，联想通过构造可实现“化多为少，化折为直”的目的，“知其然，知其所以然，何由以知其所以然” 。
三、坐标法
具有垂直关系的直线型特殊图形，根据具备的特殊条件，用坐标法解决它们中相关量的最值问题往往思路简洁，入手易。这是给几何问题以代数解析。
法一：以O为坐标原点，以BC、BA为x、y轴。设BE＝m, 则DE为,AF⊥DE,所以AF为,联立可得F点坐标，求得AF的长度，最后同法求得BG和CH的长度，它们都与变量m相关。
法二：以AF为核心，将AF化“斜”为“直”。以F为坐标原点，以ED、AF为x轴、y轴，这样三条线段都平行于y轴，AF=m,则DH=m,DC=2,故CH=,AF+GB+CH=
,这样转化为m的最值问题。
用坐标法处理这类问题，本质上是几何问题代数化。从一点确定位置、两点可以确定一距离入手，思考有序数对与位置之间的关联。用坐标法解决两点间的距离时，让学生感受从形到数的原理，其核心在于分析图形中的垂直关系（“以形助数”）、选取适当的平面直角坐标系（解法优化）、用坐标表示需要的量、最后利用函数性质实现解题（“以数解形”）。
最后，不管四边形的最值问题如何变化，需要我们分析问题核心，分析题设中的特殊条件和不变量，以不变应万变。