唐大为
四川美术学院 重庆 渝北区 401120
Secrets of classical mechanics
The essence of calculus and the mysteries of physics and mathematics
DAWEI TANG
摘要：“如果我比别人看得更远，那是因为我站在巨人的肩膀上。”
在17世纪的约200年前，意大利有一位大家（注：为了避免一些可能性的历史纠纷，未使用人名，统称“大家”），他首先发现了重力和惯性，200年后，在英国的另一位大家将这个发现首先用数学的方式论证出来。世间流传他是因为在一颗苹果树下思考重力的奥秘，被苹果砸中头顶，灵感一现才思考通了这个道理。其实，这个故事或真或假，也有很大可能是他为了搪塞众口而临时起意，即使真有这个经过，是否跟苹果砸中头顶有关系，无从考证，也没有必要探究清楚，并不影响我要在下文讲解的内容。
"If I have seen further than others, it is by standing on the shoulders of giants."
关键词：经典力学；力学距离公式；微积分；Classical mechanics；Mechanical distance formula；Calculus
引言：我们这个物质世界，由许许多多的物理规则和公式组成，出现了物体就有数学可以对它们进行表示，各位大家创造出来的数学原理，也必然可以切合入物理规则中，那么物理和数学之间的应用就可以相辅相成。
正文：
在17世纪，数学界，或许早已精通如何计算累加值，比如从1累加到10，它的总数等于55，应该说从古罗马古经典时期，当时的数学家就已经得出了这个计算公式，公式如下
sum(1~x)=(1+x)x/2
它的意思是从1累加到x，其中每个值只自增1，将首尾的数字相加再乘以相加的次数，再除以2，就等于累和的值。
这是前人总结出来的数学计算公式，英国的那位大家，也许是从中得到了一些经验和启发，又或者从比萨斜塔著名的自由落体实验中得到启示。
当一个物体下落的时候，移动速度越来越快，那么这个下落的过程中，如果把总时间分割为每单位时间，其中每单位时间经过的距离就会不断地增加，把后一单位时间的距离减去前一单位时间的距离，等于多出来的一段自增距离，那么，这位大家如果根据这个原理，测量出了每个单位时间增加的距离都相同，就能够断定，这各下落的物理现象中存在一个恒定的加速度，再根据比萨斜塔的自由落体运动实验，两个质量差异巨大的物体落下经过的路程和过程用时几乎一样，那么加速度相同，是不是受到了同一个力量呢？这或许就是他找出了地球存在一个同样的引力在作用的原因。
那么将他在大脑里得出的这个原理导入到数学的累和公式中，比如把第一单位时间内移动的距离好比为1，把最后落地所经过的最后单位时间移动的距离比作x，假设每单位时间增加的距离等于1，则受这个加速度影响的整个移动距离就等于(1+x)x/2。其实这里每单位时间移动的距离增加的1，就是整个下落运动中的加速度a，如图1所示进一步讲解
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图1
从每单位时间就增加a=1的加速度来看，整个落地过程就可以表示为从移动距离的1、2、3…一直到10落地，再将这几个按单位时间分割的移动距离累和起来，就是在a=1这个加速度影响下移动了t=10个单位时间所移动的总距离。
每次单位时间移动的距离等于整个下落过程中每单位时间内的速度，所以，我们把这个累和公式中，后一个x单位当作t时间，得到距离h的式子等于
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这就是那位大家的第一经典力学定律的距离计算公式的由来，可见物理和数学是互通的，并且也是可以互相得到启发的。
当然这位大家在后来更将这个原理发展到了极致，创作出了流传几百年的经典数学原理：微积分。
微积分的用处非常广泛，特别是到了近代，它可以用于计算不规则形状的长度和面积，以及体积。在微积分出现以前，要计算不规则的复杂模型的数据，是行不通的，当时只有规则的模型，比如矩形、三角形、圆形、球体等这些几何形状才能被精确计算。当然也有比较古老笨拙的计算方法，就是把不规则形状的模型放入一个立方体内，然后注满水，再把模型捞出来，计算水的体积，再用立方体的体积减去水的体积，就得到不规则模型的体积了。但如果单从数学的方法入手，就必须要借用微积分的思路了。那位大家将计算力学中距离累和的公式引入到了计算曲线中，来解决测量曲线长度或曲面面积的数值的问题。如图2
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图2
从计算定加速度距离的公式中看，要计算一条曲线的长度，可以将这曲线移动距离的时间t分割若干单位时间，也就是自增量，也可以记作，如图2中，每个内，线段都移动若干格子的距离，这个距离可以记作，假设每个距离增加的量相等，也就是在曲线中从物理的方面看，定加速度a恒定，则曲线长度式子h可以写作h=ν0t+at2/2，也可以写作h=(ν0+νt)t/2。
其实这是△x无限小的情况下，一种近乎垂直的曲线的计算状况，实际计算曲线长度需要用到勾股定律计算和组成的三角形最长边的长度来累和。一个微分的单位斜边可以用√△y2+△x2来表示，将整个微分的曲线过程累和就是曲线的长度了，如下
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若，f(x)=x2可导，则表示在定区间内，任意x点的左右导数相同且连续，这种情况也表示了每次△y的增加值恒定，因为△x无限小，可看作每个√△y2+△x2的增加值也近似恒定，也就是曲线运动中物理的加速度a恒定，则可利用h=(ν0+νt)t/2公式进行累和计算。得到曲线经过0点的长度积分求和的方法等于
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函数可导的意义在于函数线段连续平滑，连续平滑就表示了任意点左右导数相同且连续，每中的增加量恒定，当f(x)=x3或者f(x)=x4时，一次计算△y之间的差值并不能得到恒定的a加速度增加值，比如x3这个函数就会得到一个变加速a，需要多次求a，最后能找到一个恒定的增加值，这表示取无限小的时候，累加可行，可以看作是物理曲线运动中的a加速度恒定。
如果这个a加速度在曲线某区间内的过程中不恒定，则这条曲线画出来就不是一条连续平滑的曲线，就不可导。
这就是微积分的精要，由英国那位大家先是通过数学累和公式完成了经典力学的基础原理，再通过经典力学原理完成了微积分的原理。
这就是当代物理和数学之间最大的奥秘，也是一切力学基础开端的秘密。
参考文献：[1]作者：[英]牛顿 Isaac Newton。自然哲学之数学原理 [M]北京：北京大学出版社，2018。
作者简介：
姓名：唐大为
出生年：1983
性别：男
毕业院校：四川美术学院
学位：大专
职称：无
研究方向：美术、物理、数学、IT工程学