索争科
四川省攀枝花市西区攀枝花市第七高级中学校
《本文摘要》：本文从数列求和教学的实际出发，引导和总结利用裂项相消法求解一些数列求和的问题，归纳总结常见类型的裂项规则，以达到绝大多数学生能掌握裂项相消法解决此类问题的原理和规则，掌握求和结果余项的特点，培养学生归纳能力和严谨求学的态度。
关键词：裂项相消法 求和 余项 高考
正文
在高中数学必修5《数列》一章中，通过学习，大纲要求以两个基本数列模型：等差数列和等比数列为载体，使学生掌握以函数思想为主线的简单数列的定义、性质与求和，作为中学数列的教学要求，数列求和是数列的重要内容，可以归结为四个基本求和方法，即基本等差数列求和，基本等比数列求和，裂项相消求和以及差比数列求和，本文主要对裂项相消求和做一探索和思索。
中学数学中裂项相消求和是比较常见的数列求和方法，从教学实践来看，许多学生对于裂项相消求和更多是形式上的模仿和经验的累积，对于求和的思想和原理思考太少，使得他们在对稍微复杂的裂项相消求和的问题，缺乏思考的方向和解题的方案。
一．裂项相消求和探索
例如人教版必修5第47页的思考题：数列{1/n(n+1)}的前n项和记为Sn=1/1*2+1/2*3+1/3*4+L+1/n(n+1) 。研究一下，能否找到求Sn的方法，你能对这个问题做一下推广吗？对于这个问题，大部分学生能轻易完成第一个问题，即求和Sn。他们借助于小学初中的速算经验，把通项做变形，完成求和，也就是：
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运算简单明了，从提问学生来看，第一问方法对的选用更多体现在模仿和经验，由于缺乏对它本质的思考，对于二问的推广，学生大都面露难色。当做了如下进一步引导和探索，学生似乎有点眉目。如果从1/n(n+1)=1/n-1/n+1来看，右边分式通分的分母和左边分式的分母相同，形式的差别也就是问题的关键在于右边通分的分子运算：(n+1)-n是这个问题的核心，与我们数列中等差数列的定义：n≥2,an-an-1=d（定值）是一致的，这正是问题的本质，总结之后会容易得到这样的推广：数列通项bn=1/anan+1，且分母anan+1正好是一等差数列连续两项之积，就可以推广为：
（一）若，其前项和为，求和的方法是首先把通项裂为：
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我们就把这种求和过程中利用其相邻项的异号相消原则达到求和的方法定义为裂项相消法求和。
二．裂项相消求和的思考
那么裂项相消法求和的特点是是什么？如何判断使用此法?
这类题目的形式特点多是分式型，其变形的一般特点是将原数列的每一项拆分为两项之差，本质是对通项的裂项处理，对原有数列重新分组，整合，使之达到中间相当多的项互相抵消，为达到这个目的，重新整合的必须是关联的项，这正是等差数列的思想方法的解题中的运用，这种方法我们把它定义为“裂项相消法”求和，在用此方法相消后，余下的项从形式上有以下两个特点：
①对称性：裂项相消法求和后，剩下的有限项，从结果来看，具有位置上的对称性，还具有数量上的对称性，往往是前有多少项，后有多少项。
②正负值得相应性：，剩下的有限项，从正负值来看也具有对称性，前两正，后必两负。
这也是我们利用“裂项相消法”求和时的一个从形式上的检验方案。我们把这种方法解决的题型定义为：
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从这道通项公式的求解中，我们不难有这种思考：在模型一中如果如果数列{bn}满足：bn+k-bn=f(n)（不是定值），如果f(n)为关于n的一次函数或指数型函数，那么数列an=m/bnbn+k的求和如何进行？我们利用模型一的方法试完成下面一道题，也许能感受到异 曲同工的妙处。已知数列{an}的通项公式是：an=2n+1/(n+1)2n2，求数列{an}前n项的和sn。
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从这道题中我们感悟到：①分母是等差型数列的连续两项；②分子是分母只差的定式或定式的整数倍。我们由此归纳“裂项相消法”求和的第二种模型：
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在此，我们发现，它不具备上述两个模型，但又有等差的痕迹：(n+2)-n=2。如何联系？我们联想初中有理化运算的一道题：
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自此，我们得到有关三个裂项相消求和的初级模型，在教学实践中应用方便，作为高考的指挥棒，此类求和方法又是如何考查？
参考文献：
1孙春生 《谈数列不等式的裂项思路》 【J】 数理天地（高中版） 2008年07期；
2.吴金辉 《转化为数列求递推数列通项》【J】 中学生数学 2007年03期；
3.谢永为 《求数列通项方法举隅》 【J】 高中数学教与学 2011年11期；