林春燕
浙江省临海市杜桥镇中心校
【摘要】：模型思想是数学基本思想中之一，模型的产生、应用过程，是数学知识建立和应用的过程。本文结合三年级《归一问题》的教学，尝试从实践角度出发，通过案例，谈谈建模思想在解决问题中的应用。在教学中我努力做到：尝试交流中，初建模型;反复对比中，清晰模型;最后在练习应用中，深化模型。
【关键词】：初建模型，清晰模型，深化模型
一、尝试交流中，初建模型。
要想学生有效构建《归一问题》这一数学模型，首先引导学生从生活原型中提炼出数学模型，并在初步感知的过程中，逐步向构建模型过渡。
（一）、个性画图，尝试解答，感悟模型。
课开始出示文字：妈妈，买三个碗，用了18元，如果买8个同样的碗，要多少钱？
师：读题后，出示要求：划出这道题的信息问题，再画画图，把信息问题清楚地表示出来，最后列出算式。
学生画图，解答。教师找寻典型例子。
首先反馈画图：（逐一出示）
第一层：反馈圆圈图，信息问题表示清楚了吗？第二层：反馈画碗图
老师：信息问题表示清楚了吗？画圆圈与画三角哪种更快更省时？
第三层: 反馈画线段
老师，这是用线段表示谁能看懂？
学生落介绍，一段表示一个碗三个18元，8个多少钱？
线段图与圆圈图对比，课件演示。
小结：画图方式不同，表示的信息问题是一样的
师：现在说说怎样列式吧？
生：汇报算式18÷3=6（元）6×8=48（元）综合式子：18÷3×8=48（元）
师：每步的意思你都明白吗？
生1：第一步先求一个碗多少钱？再求8个碗，多少钱？综合式也是先求一个碗多少钱？再求8个同样的碗，多少钱？
生2：综合算式，分步算式的想法是一样的。
这个环节，利用学生已有的生活经验，从现实情境中抽象出问题，这是数学模型建立的基础。在这个环节中，经常会发现有很多学生跳过审题，直接进入问题解决。这样做，缺少了数学化的过程。教师在课上要求学生读题，说信息，再到用图的形式整理信息问题，这个过程中，学生有自己个性化的理解。然后教师通过对比，碗图和圆圈图对比，线段图与圆圈图对比，有什么相同点？这个环节，数形结合，形象直观。同时将问题简化，清晰化，这个过程是学生建模的基础。当学生对自己要解决的问题非常清晰后，我们不仅鼓励他写下来，更要创造机会，让他勇敢地表达，独立说解答思路，再到全班反馈。这样做基于学生的认知基础，也尊重了学生的个性思考。让学生在尝试解答，交流对话中初步感悟数学模型。
（二）、式图结合，理顺思路，形成模型。
师：那我们是怎么想到先求1个碗的呢？
生1：求8个当然先求1个碗。
生2：…
小结：结合图指出，两位同学都是根据问题想到先求1个碗？板书从问题想。
还有不同的想法吗？我们可以根据那句话想到1个碗多少钱？
生：（3个碗18元）板书：从信息想
其实也就是图上哪一部分想到的？
小结：不管是从信息想，还是从问题想，我们都要先求1个碗，再求8个碗多少钱。
我们把这道题解答出来了那你能不能用上这几个词？再把解题思路理一遍同桌互相说，
小结：不管从哪个角度去思考，都是先求一个碗多少钱。
这个环节中，教师不仅重视学生学会这题的解答方法，更重视教给学一般的分析问题的方法，重视交给学生分析法，和综合法的一般思路，也就是课上老师说的“从问题出发思考”，和“从信息出发想起”。 老师让学生展示分析问题的思路，为学生思考指明方向。这样的教学有利于学生积累经验，发展能力。从方法展示，到分析问题的思路展示，这是一个循序渐进的过程，符合学生认知规律的建模过程。
二、反复对比中，清晰模型。
教学中要清晰归一问题的结构模型，在教学中加强了对比：两步计算和一步计算的对比。这一对比引领学生感悟，一步问题是两步问题的基础，两步应用题是一步应用题的深化。这样的对比花时不多，但胜在巧妙，适时。对比，有利于学生生更好地掌握两步应用题的结构。学生在对比思考中，体验了数学问题解决的联系，变化，和共通之处，更有利于学生进一步清晰归一问题结构。学生对归一的数学模型的认识更加丰满立体。
1、两步一步，沟通对比。
遮盖住“3个碗18元”，如果这“1个碗六元钱”（遮盖片覆上）直接告诉你，就是二年级学过的，一步计算问题；如果没有直接告诉你，就成了今天的两步计算。看来今天的两步计算问题是在一步的基础上变化出来的。
这个环节，原来是在教学了新课之后，放入两道题组展开对比：“妈买3个碗用了18元。如果买8个同样的碗，需要多少钱？”“妈妈买1个碗要用6元，买如果买8个同样的碗，需要多少钱？”实际操作后发现学生再比较过程中对题目要重新分析解答，过程花时很长，没有达到预想效果，最后就改成了直接覆盖呈现的方式，操作下来对比更清晰，学生也明白了从一步到两步，原来就是其中一条信息没有直接告诉我们，只要先求出隐藏的信息，新问题就转化成了旧知识。当新问题轻松解决过程中，学生对归一问题的解答方法，结构特征也进一步清晰起来。
2、正反归一，寻找相通。
在回顾反思环节中，把48元这个答案当信息，“8个”这条信息当作问题，得到了一个新问题。
“ 3个碗18元，48元能买同样的几个碗？”然后展开了反归一问题的教学。在交流好算式和分析方法之后。
师：回顾一下我们是怎么解决买碗问题的？
生：先是读一读，画一画，充分理解题目的意思，那就是阅读理解，然后再分析解答，最后回顾反思。
师：我们来看到这两题都是买碗的问题，对比一下有什么相同点？
生：都是告诉3个18元，,都先求一个碗的钱。
学生初步建立正归一的直观模型基础上，再引导提出反归一的问题，它是例题的一个变式，也是先求出1个碗的价钱，但第二步不同，求48元里面有几个6元。在正反归一两类问题的比较中，突破了学生思维定势，进一步清晰正反归一问题的相通处：都是先求出一份数。这一次对比，进一步突出归一问题的基本特征和解答关键。学生对归一问题中这个“一份”认知更清晰了。充分感悟“一份”，是建模归一问题的关键所在。
三、练习应用中，深化模型。
学生在不同的问题情境中，进一步解答归一问题，在这环节中，教师让学生进一步领悟到：怎样舍弃非本质的属性，形成一种纯数学关系的结构。这种结构有利于学生从具体思维上升到抽象思维，但这中抽象又有几何直观作支撑。学生从应用中体会到变与不变，联系和共通，感受数学世界的丰富多变和万变不离其宗。感受到这个模型本质特征，以及这个模型在生活中的广泛应用。
1、再编题目，探寻本质。
师：这副图除了表示买碗购物问题，还可以，表示生活中的什么其他问题，看书，排队走路，做零件行不行？这里的“元”能改成其他单位吗？擦去“元”。用这幅图及图中数据再编一条数学问题，互相说说。
汇报记录，学生说，教师简单记录。
师：这些题都可以用哪个算式解答啊？18÷3×8
师：不管情境怎么变？都是先求什么？再求什么？
生：先求一份再求几份。
师：像这些都是先求一份是多少？这是数学上的“归一问题”。
在这编题环节中，我发现学生的思维先是局限的，随着思维的碰撞，慢慢打开了局限，最终发现学生的创造力是令人惊喜的。这个环节中最核心的一个问题是：“不管情境怎么变？都是先求什么？再求什么？”这道题设计的目的不但要让学生巩固归一问题的解答模型，更重要的是领悟这“变”与“不变”。同时丰富了对“一份”的认识，对归一问题的建模也更深刻了。
2、巧设陷阱，领会核心。
师：看书问题解决了，划船问题你会吗？
师：说说你的想法，先求什么，再求什么？
生：先求一条船6人，再求12条72人。
师：追问：一定是72人吗？
学生非常肯定地说：“是”。
师：给你看这12条船，是这样的，看到图，你想说什么？
图：有大船有小船，不是同样的船。
学生：“同样的”“一样的船”
师:对呀，只有加上“同样的”、“一样的船”这些词，脑中出现这样的画面，才正确的哦。
师：之前的解答中，你有没有碰到类似的词语？（同样的，照这样的速度。）这些词都在提示着我们：每一份不变。
师：除了这种方法，还有别的方法吗？（倍数知识解答）
“同样的”、“一样的船”“照这样计算”这些词语，是归一问题特有的词语。其蕴含的意思中，也提示着每一份不变。但学生一般很难关注到，教师在第一次教学中，特意提问：这里的“同样”是什么意思?发现学生不感兴趣，提示的效果也收效甚微。在后面的教学中，我进行了调整，在练习中设置这上面这样一个陷阱，由于思维上定势，刚开始学生都扑扑地往里掉。再提供了大船小船的图片后，学生明白不是同样的船，这停顿的2秒钟，学生有顿悟的过程，从而自发提出题目中需要加上“同样的”、“一样的船”这些核心词语，此时学生对这个词的需求是自发的，感悟是深刻的。最后顺利解答后，再引导学生用倍数知识来解决，学生把4条船坐24人，看作一份，12里有3个4，也就有3×24=72（人），通过这道题，学生找到了归一和倍比方法的相同之处，沟通归一法和倍比法，深化学生对“一份”的认识，从而深化模型，也促进了学生灵活运用。
在解决问题过程中应用建模思想，学生学习过程更加动态立体，丰富饱满。在教学中更加注重感知、体会、和应用。而自我尝试，反复对比，练习运用让感知体会更深刻，更好地促进学生建模，同时也更好地促进数学问题的解决。
[参考资料]
1．中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[z].北京:北京师范大学出版社，2012.
2.史宁中,主编.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
3.俞军.《借助几何直观，促进有效建模》小学数学老师（2015.6）
4.蒋徐巍《关注学生思维，帮助学生建模》小学数学老师（2015.7）