金钺
安徽马鞍山市和县腰埠初级中学
分类讨论思想是自然科学乃至社会科学中的基本逻辑方法，也是研究数学问题的重要思想方法，是解决问题的常用方法之一。在数学中，如果一个命题的题设或结论不唯一确定，有多种可能情况，难以统一解答，就需要按可能出现的各种情况分门别类地加以讨论，最后综合归纳出问题的正确答案，这种解题方法就叫做分类讨论法。在平时的教与学中，要有意识地渗透分类思想，结合初中的某些知识，列出若干种具体化问题，作为一种解题方法传授给学生，因为这类问题能使复杂的问题简单化，是培养学生思维的发散性和思维的严谨性的最好途径，能提高学生的研究能力。
等腰三角形是一种特殊的三角形，一些与等腰三角形的边、角有关的问题，往往由于条件没有明确给出，会出现多种情况，需要通过分类讨论才能解决。学生遇到等腰三角形中有关分类讨论的问题时，因分类不当，或者不考虑分类而造成错解或漏解。下面就分类讨论的数学思想方法在等腰三角形的应用举例说明。
:例1：（1）等腰三角形的两边长是4和6，求其周长。
（2）等腰三角形的两边长是3和7，求其周长。
解：（1）当腰长为4时，因为4+4>6，4+6>4, 能构成三角形,所以周长为14;
当腰长为6时，因为6+6>4，4+6>6, 能构成三角形,所以周长为16;
(2) 当腰长为3时，因为3+3<7, 不能构成三角形;
当腰长为7时，因为7+7>3，7+3>7, 能构成三角形,所以周长为17。
在这里腰和底都不明确，且要考虑能否构成三角形，需要分类讨论。
:例2：(1)等腰三角形的一个角是700，求其它两角;
(2) 等腰三角形的一个角是１００0，求其它两角．
解：（１）当等腰三角形的顶角是７００时，其它的两角是５５０，５５０；
当等腰三角形的底角是７００时，其它的两角是７００，４００.
（２）因为三角形的内角和１８００，所以１０００的角只能是顶角，所以其它的两角是４００，４００.
在这里，顶角和底角不明确，且要考虑三角形的内角和，需要分类讨论．
例３ ＡＤ是等腰三角形ＡＢＣ的高，∠ＢＡＤ＝７００，求∠ＢＡＣ的度数．
解：当ＡＤ是底边上的高时，高在内部，如图１
∵ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ是高，∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ＝７００ ∴ ∠ＢＡＣ＝１４００
当ＡＤ是腰上的高时，又分两种情况
１）如图２，∵∠ＢＡＤ＝７００，∴高不可能在内部必在外部，
∵ＡＤ是高， ∴∠ＡＤＢ＝９００， 又∵∠ＢＡＤ＝７００， ∴∠Ｂ＝２００，∴∠ＢＡＣ＝２００.
２）如图３，∵∠ＢＡＤ＝７００，又∵ＡＤ是高，∴∠ＡＤＢ＝９００，∴∠ＡＢＤ＝２００，∵∠ＡＢＤ＝∠Ｃ+∠ＣＡＢ，∠Ｃ＝∠ＣＡＢ，∴∠ＢＡＣ＝２００÷２＝１００.
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图１ 图２ 图３
由于题中没有指明哪里的高，所以需要讨论，而且还要看高是在内部还是外部，需要结合图形加以说明．
例４： 等腰三角形的底边是6，一腰上的中线将周长分成两部分的差是4，求腰长．
由于题中一腰上的中线将周长分成两部分的差是３，没有指明是（ＡＢ+ＡＤ）-（ＢＣ+ＣＤ），还是（ＢＣ+ＣＤ）-（ＡＢ+ＡＤ），需要分类讨论．
（１）（ＡＢ+ＡＤ）-（ＢＣ+ＣＤ）＝4时，
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∵ＢＤ是ＡＣ边上的中线，
∴ＡＤ＝ＣＤ，∴ＡＢ-ＢＣ＝4，
又∵ＢＣ＝4，∴ＡＢ＝10，即腰长是10；
（２）（ＢＣ+ＣＤ）-（ＡＢ+ＡＤ）＝4时，
ＢＣ－ＡＢ＝4，∴ＡＢ＝6-4＝２，即腰长是２，
但２+２＜6，不能构成三角形
例5： 在△ABC中，AB=AC，∠B=400，点D在线段BC上运动(点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=400，DE交线段AC于点E，在点D运动的过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？如果可以，请求出∠BDA的度数；如果不可以，请说明理由。
因为△ADE的形状未确定，所以应分为三种情况讨论
解：1）当AD=DE时，如图1
∵∠ADE=400，∴∠DAE=∠DEA=(1800-400)÷2=700.
又∵AB=AC，∠B=400，∴∠C=400，∴∠EDC=300，∴∠BDA=1800－400－300=1100.
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图1 图2 图3
2）当AD=AE时，如图2
∵∠ADE=400，∴∠AED=400，∴∠DEC=1400，而∠B=∠C=400，三角形的内角和则大于1800，所以这种情况不存在。
3）当AE=DE时，如图3
∵∠ADE=400， ∴∠AED=1800—400—400=1000， 又∵∠C=400， ∴∠EDC=600，∴∠BDA=1800—400—600=800。
例6 为美化环境，计划在某小区内用30m2的草皮铺设一块一边长为10m的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形的另两边长。
解：在等腰△ABC中，设AB=10m，作CD⊥AB于D，由S△ABC=×AB·CD=30，可得CD=6m。
如图1，当AB为底边时，∵AD=DB=5m ，∴AC=BC=(m)
如图2，当AB为腰且△ABC为锐角三角形时，∵AB=AC=10m，∴AD=8m，∴BD=2m，BC=(m)，
如图3，当AB为腰且△ABC为钝角三角形时，∵AB=BC=10m，∴BD==8(m) ∴AD=18(m)，AC=
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图1 图2 图3
三角形的高是由三角形的形状决定的，对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外。
以上举例虽然并不能把等腰三角形所有分类讨论问题都一一列举出来，但足以体现分类思想的重要性，一方面分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常清晰，步骤非常明了；另一方面在讨论当中，可以激发学生学习数学的兴趣，启发学生积极思维。如果不渗透分类思想，学生解题时因思维的片面性而出现漏解现象（即俗称的不严密或马虎）就难以避免。分类讨论问题又是发散思维训练的主要内容，教师在这方面应该高度重视，只要我们在教学中大胆实践，持之以恒，寓分类思想方法于平时的教学中，学生对分类思想方法的认识就一定会日趋成熟！