应国光
诸暨市次坞镇秀松初级中学
浙江省绍兴市 312000
摘 要： 列举特殊化的运用:赋特殊值解题、由特殊化得出一般化结论、由特殊化寻找解题突破口、用特殊化引起特殊联想.
关键词: 特殊化;优化解题
由于一般性总寓于特殊情形之中，所以对于一些一般性的，复杂的数学问题，我们可从一些简单的特殊的情形入手，以此作为借鉴和桥梁，可以先考察它的若干个特殊情形，利用各个特殊情形中包含着的共性和个性，通过比较、归纳，分析和综合把握原有的对象或问题的有关性质.我们把将一般问题化为问题的特殊形式或情况，通过对特殊情况的研究去寻求原问题的结论及解决方案的数学思维方法叫做＂特殊化法＂，特殊化是化归手段之一．
将一般问题特殊化的框架如下所示：
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当某个问题不易获解时，我们可以转而研究相对较为容易解决的特殊情况，通过特殊化，我们容易猜测有待寻找的结论；通过特殊化，也容易探索解题的思路与方向．特殊化法为我们解决数学问题带来了很多的方便，以下是特殊化在数学中的一些应用：
（一）、特殊化法得出正确结论
若问题的一般结论为真，则它在特殊时的结论也为真，所以我们在解题时，可先考察其特殊情形的结论，尤其在选择题、填空题中，对一些抽象的，直接求解困难的，可以用特殊化思想来考虑，取符合题的条件的某些特殊情况，化难为易得出正确的答案．
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以看出，在解某些选择题，填空题时，巧用“特殊化”，可避免“小题大做”，解题正确率高，速度快．
（二）、 赋特殊值，直接求解
对于某些有关一般值都成立的问题，有时可以避免考虑一般值，而直接利用特殊值去求解问题．
例3 已知，其中是常数，且 , ，求使为与无关的定值．
解析 本题仅当取某个定值时，才与无关，不妨让一般的取特殊值．
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（三）、以特殊情形为起点，进而发现一般问题的解法
有些问题，情景比较复杂，造成计算量大，或要考虑的情况较多，此时可退到特殊，简单的情况，它们的特殊简单情形的求解中的关键性步骤，往往就是求解一般情形的关键步骤．从特殊情形中寻求解答方案，再回到原问题中求解，这是解决问题常用的以退为进的策略．
例4 已知、是圆的切线，，=，为弦上的任一点，过作射线，作于，求·的值．
分析 是弦上任一点心，情况比较复杂，我们不妨先将问题简化．如图２,
取AB的中点，对这个特殊情况进行研究，
这时，与重合，连结,于是得到一个
非常熟悉的基本图形，直角三角形斜边上的高线，
由射影定理可得
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·==
并由已知：且，是圆的切线，
故，因此，故=5，因此，
·=25，当在弦的一般位置上时，我们只要证·=·.由割线定理可知，只要证明四点共圆即可.又因，故问题得证.
可见，有些数学问题，它们的特殊、简单情形的求解中的关键性步骤，就是求解一般性情形的关键性步骤，因而通过求解特殊、简单情形，可以发现对一般性情形实现求解的关键性步骤．
（四）、利用特殊化,奠定解题基础
某些数学问题的解决,可以依赖于某种特殊情形,于是特殊情形的解决,是进一步求解一般情形的很恰当的基础．
例5 如果我们把复平面上的3个点也看成3个复数，那么，是正三角形的充要条件是：
(1)
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分析 由于（1）较复杂，难于化简，可令（即为原点），则（1）式转化为
(2)
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(2)的证明较为容易（此略）．下面的证明一般情形：
平移坐标原点，把在新坐标系内、两点表示成由平移公式得：
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这时，根据上述特殊情形的结论知，为正三角形的充要条件是
即
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化简即得
（五）、特殊化探求某些问题的结论，寻求解题突破口
有些数学问题其待解的结论是不明显的数学事实．例如：“定值”（或“常量”）的问题．定值常常是未知的，这就增加了求解的难度．这时，可以先取问题的特殊情形探究问题的特殊情形，探求“定值”的表达形式，这样就使求解目标明确，容易使问题获解，还可以利用特殊化探索定圆、定线、定向等问题比较抽象，规律隐蔽的题目，可通过联想实例，进行类比与剖析，从中得到暗示与启发，从而发现一般性问题的结论．
例6 若椭圆焦点为为椭圆上任一点，中的平分线交椭圆长轴于求证：的内心分为定比．
分析 定比是多少？题中未给出，证明方向不明，先将作特殊点.如令为短轴一端，此时重合于原点．内心在上，有．目的明确了，并提示出了简单的证法：
证明 如图３所示：
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定比．
证毕．
例7 已知m为非零常数，，且，试问：是周期函数吗？若是则求出它的一个周期；若不是则说明理由.
分析 这是一道关于函数性质的探索题，解题的关键在于能否找到的一个周期，按照常规的解题思路，本题不太容易入手，需在广泛联想的基础上进行类比、剖析.从结构上来分析，
①
式与
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②
相类似，而正切函数是周期函数，它的一个周期恰好是②式中常数的4倍.于是，我们不妨猜想，可能是周期函数，它的一个周期可能是
事实上，
所以，
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故是周期函数，是它的一个周期．
（六） 用特殊化，引起特殊联想
在解题过程中，有时要把注意力倾注在对象的某些特殊方面，由特殊结构引起特殊联想，从而找到解题途径．
例8 计算
分析 两根式不是同类根式，不能用合并同类根式的办法解决．注意到两个根式的被开方数恰为，，是一对共轭根式，设a=，b=，则a+b，a-b都是整数，故可通过先平方，后开方的办法予以化简．
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综上可见，数学问题的特殊化，具有具体形象，生动直观的特点，它有利于打开我们的思路，找到解题的钥匙，发现证明的方法．数学家希尔伯特对于特殊化作用，有过精辟的论述，他指出：“在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用．”数学教育家波得亚把特殊化称为“获得发现的伟大源泉”.作为培养素质的义务教育数学课程，十分注重知识性,技能性和普及性．特殊化方法作为重要的思想方法之一，即能帮助我们正确认识一般与特殊间的辨证关系,而且还能培养我们敏锐的观察能力，深刻的分析能力和独特的构想能力．因此，重视这一特殊化思想的渗透，无疑是非常重要的．
参考文献
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