王 勇
安化县实验高级中学
摘 要：中学数学新课程 G·波利亚的《数学与猜想》 合情推理 集合的关系与运算 向量的运算 立体几何
关键字：新课程 合情推理 类比 归纳
新《数学课程标准》(实验)在课程标准中提到:“注重提高学生的数学思维能力:‘高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力.人们在学习数学和运用数学解决问题时,不断地经历直觉感知、观察发现、归纳类比、等思维过程’这些过程是数学思维能力的具体体现,有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断.数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用.’”著名数学家、教育家G·波利亚《数学与猜想》中引用数学家拉普拉斯的话:“甚至在数学里,发现真理的主要工具也是归纳和类比”波利亚自己在自己的著作《数学与猜想》里用了一卷的篇幅详细阐述了数学中的归纳与类比.在三年的高中教学中,我对“归纳与类比”这一思维形式应用于教学深感其对学生加深对课本知识无论是横向还是纵向的认识都颇有帮助!
在教《集合》这章时，我首先从小学至初中的学习对象与语言出发给学生介绍新的数学对象和语言“集合语言”，然后“集合关系与运算”学习中指导学生运用类比推理进行类比。由于第一次出现“类比”，首先我给学生简要介绍了这种推理形式以及合情推理的两种方式—归纳推理和类比推理，并给出了两个生活中的例子：
例1：在某次课间，我班第一进教室的同学带来了麻辣，第二位也带来面包，第三位带来牛奶，于是我们就可能设想（实际是归纳）是不是下一位同学也会带什么东西进教室。同时指出这种归纳是不一定正确的。
例2：俗语中有句“有其父必有其子”这句话就是我们类比思维的一种结果，但是不是就一定正确呢？譬如：苏洵与苏轼、苏澈父子三人皆是进士，但大诗人李白的三个儿子却是个个痴呆。
于是我们开始类比数字的比较和运算学习了集合的关系与运算：
1. 类比数字比较中数与数的关系：“＞、＜、≥、≤、＝”让学生学习集合的“
”关系，尤其“包含”和“真包含”是学生开始较难理解的概念，当我们在这种类比讲解时，学生一下就明白了。
2. 类比数的“＋，－”运算，让学生学习集合的“
”运算，这里正好让学生更好的理解“类比推理”是有风险的：集合中的交运算在数字运算中就没有相类似的运算与之匹配。
在教数列这一章中的等差数列和等比数列两种数列的性质时,我在教等差数列的性质时:
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因为课本这些性质都是以例题或是练习的形式给出的,如:
《数学一册·上》(实验修订本)
P118练习 第3题⑴⑵⑶题给出了等差数列的等序等差性质,
P119习题 3.2 第10.题 ⑴⑵给出了等差数列的等远等和性质,
P119习题 3.2 第11.题给出了等差数列合群性性质,
P123习题 3.3 第10题给出了等差数列的段和等差性质;
在学生们学完等差数列的概念和性质以及等差中项和前n项和公式,完成上述习题后让他们归纳总结等差数列的性质,在学习了等比数列的概念和性质以及等比中项和前n项和公式后进一步归纳总结其性质时放手让他们运用自己所掌握的知识去类比猜想,鼓励他们大胆的猜,严格的证明, 慢慢引导其进入归纳类比推理的路上来!
首先在课本上找与等差数列里相类似的概念、练习、习题,学生们首先发现了等差中项和等比中项的想类似的两个概念,接着是找到了相类似的例题和习题:
P128练习 第3题.⑴⑵⑶给出了等比数列的等序等比性质,
P129习题 3.4第10题.⑴⑵给出了等比数列的等远等积性质,
P127例题 3给出了等比数列合群性性质,
P133习题3.5第7题给出了等比数列的段和等比性质;
最后在课堂上我进一步讲解了等差数列里用和或是积来表示的公式和性质在等比数列里都类似的用积或是乘方来表示的!还特别地指出等差中项和等比中项这两个非常明显的例子并介绍了等差中项的A即英文Arithmatic mean(算术平均数)的首写字母等比数列的G即Geometic(几何平均数)的首写字母,而这正是我们将在二年上期要学习的非常重要的均值不等式的主要内容.
在教《数学1-2》的《推理与证明》这一节时就是采用这种类比的思想,因为在前面已经学习了许多的有关类比和归纳思维的例子,如:
公理4就是可以由初中的平面上线线平行的传递性类比而来,平行六面体的对角线交于一点可以有初中平面的平行四边形的对角线交于一点得类,而球的概念也可以是由圆的概念从二维平面里的曲线类比推广到三维空间中的曲面,其中的球心就类比圆心,圆内的弦类比于球与平面的截面圆,球的大圆类比于圆的直径,球的表面积类比于圆的周长,球的体积类比于圆的面积等等;于是我让学生回忆和归纳初中的圆的性质,从而为他们大胆猜想球的性质做准备:
⑴同圆或等圆的半径相等,直径是半径的两倍,
⑵与弦垂直的直径过弦的中点
⑶连结圆心和弦中点的直线垂直于弦
⑷圆半径的平方=圆心到弦的距离的平方+弦长一半的平方
⑸不过圆心的弦小于直径,经过圆心的直径是直径,且直径是最大的弦.
学生们相互讨论后,得出球的如下性质:
⑴同球或等球的半径相等,直径是半径的两倍,
⑵与截面垂直的直径过截面圆的圆心,
⑶连结球心和截面圆心的直线垂直于截面,
⑷球半径的平方=球心到截面圆的距离的平方+截面圆半径的平方
⑸不过球心的截面截得的是球的小圆,经过球心的截面截得的是球的大圆,且大圆是最大的截面圆.
学生通过自己的类比推理以及激烈的讨论并最后得到的结果让他们自己有很深的印象,并开始喜欢了类比这个思维模式,时不时的有大胆和准确的类比推理的结果出来!
现在高中数学在《数学2-1》的解析几何中圆锥曲线章中三种圆锥曲线的性质也可以先学习椭圆这种曲线的性质,然后运用类比思想,让学生先去归纳再类比推测.
在学生学习了“椭圆的定义”后，我就引导学生思考，要是定义中的“和”改成“差”会如何呢？尤其是在学生学习完三种曲线后，我带领学生回头再来看课本上的几个相似例题和练习：由P47例6与P59例5相似与差异引导学生开展“研究性学习”完成“圆锥曲线”的“第二定义”的教学；由P43例3与P55“探究”的差异与相似引导学生进行“圆锥曲线第三定义”的探究教学，这些都是很好的合情推理的学习素材。
“类比联想是数学的网，只有撒网的人才能捕获”（Novalis）.知识面越广，作为“归纳、猜想”和“类比”的素材就越丰富，形成“联想”和“预见”的机会就越多！在数学学习中，“知识” 、“技能”的牢固掌握，内在联系的脉络清晰，定理与公式的应用娴熟等，对数学解题的成败都有帮助。数学思维活跃，“联想”就自然浮现，“归纳” 、“猜想”、“类比”就油然而生，“转化”也就水到渠成！
波利亚在他的《数学与猜想》写到:“类比作为一种科学研究的方法,在我们的思维、日常谈话、一般结论以及艺术表演方法和各种科学成就中无不充满着他的身影,特别在数学发现和解题方面作用更显著,切不可忽略! ”我想在数学的教学中,还有很多的类比的思想方法等待我们去努力发现和运用.这个在人类科学发展进步中有着卓绝的作用的推理形式一定能给我们有更多的惊喜!
参考资料
G·波利亚 《数学与猜想》第一、二卷 科学出版社 2001.7版
《中学数学课堂教学方法实用全书》 内蒙古大学出版社 1999.3版
《数学1》 人民教育出版社 2009.6版
《数学2》 人民教育出版社 2009.6版
《数学1-2》 人民教育出版社 2009.6版