姜溯佩
杭州市启航中学 浙江省 杭州市 310011
内容提要 数学家弗赖登塔尔指出：“反思是重要的思维活动，它是思维活动的核心和动力”。我在平时的教学过程中发现，通过教师引导学生在解题后进行及时反思能促进学生的理解从一个水平升到更高的水平；促使他们从新的角度，多层次、多侧面地对问题及解决问题的思维过程进行全面的分析与思考，从而深化对问题的理解。学生只有在思考、再思考的过程中获取知识，才能沟通新旧知识的联系，拓宽思路，优化解法，增强创造性解决问题的能力，提高学生的自我认识水平。
关键词 ：反思，优化，课堂教学
教师作为学生学习的组织者、合作者、指导者和促进者，作为孩子们可信赖的学习伙伴，更多的应关注孩子们的学习方式。改变学生学习的过程与方式的根本目的，是使学生学会学习。教师培养学生的着眼点并不在于“学会”，而在于“会学”。课堂内外让学生学会“在反思中学习，在学习中继续反思”这种做法，有利于提高教学质量，有利于挖掘学生自主学习的能力。
一、了解反思的内容，明确反思的分类
反思内容一般包括记载成功之笔，牢记失败之处，捕捉瞬间灵感，珍视自己的独到见解等。学生应该经常反思自己的学习行为，记录学习过程中的所得、所失和所感。以反思促学习，长期积累，必有收获。在操作过程中可按时间将反思划分为：课堂反思、日反思、周反思、月反思、期中反思、期末反思等。因为这些周期的设定正好和学生的学习习惯以及学校的学业考核时间相吻合。反思当天自己掌握了哪些知识，反思自己掌握了哪些学习策略与方法，课后通过《错题集》的搜集，让学生对自己在本单元的学习过程进行回忆、整理，对自己的学习活动进行阶段性的反思和评价。在这过程中，学生能够看到自己的进步，产生继续学习的积极性，发现自己学习上的长处与不足，为改进今后的学习提供依据。从而监控自己的学习，使自己不断取得进步。确定自己在不同的阶段有不同的反思目的和要求。
二、训练学生的反思能力，明确解题后反思的内容
（一）反思解题的正确性
解题中往往受思维定势或粗心大意等因素的影响，导致解答不正确。因此在解题后需要对解题的正确性进行反思。
1．反思解题过程与结果的准确性
教师要引导学生复查求解过程和结果有无错误，指出容易出错的地方，促使学生养成解题后检查的好习惯。
2．反思隐含条件，提高思维全面性
学生解题时容易出现以偏概全或漏解的错误，在教学中要引导学生反思解答是否全面，有无丢解的现象。如“☉O的半径为5，圆中的两条弦AB=6，CD=8,而且AB∥CD。求AB与CD之间的距离。”很多学生只求出其中一种情况的答案，而忽视了两条平行弦可以在圆心的同侧，也可以在圆心的异侧，要分情况求解。老师应因势利导，及时纠正学生思考的片面性。数学学习中涉及到分类讨论的问题很多，比如在学习等腰三角形的性质这章内容中，我设计了这样一组题目：（1）等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为 .（2）等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 （3）等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为 .
为了在课堂上渗透分类讨论思想，让学生体会反思解答全面性的重要性，我会不失时机地在课堂上设计此类问题。
如学习了二次函数后，很多学生在下例中出现了错误。
例题：已知边长为4cm的正方形（如图5）截去一角成五边形ABCDE，且AF=2cm，FB=1cm，在边AB上求点P，使矩形PNDM的面积最大。
错解：设PM=x cm，矩形PNDM 的面积为y cm2，
则y = -x2/2+5x =-1/2（x-5）2+12.5，a=-1/2<0，
∴函数y有最大值.当x=5时，y最大值=12.5，
即矩形PNDM的面积最大。
通过反思，学生们发现了错误的原因：即由于记住了“当a>0时，函数y有最小值；当a<0时，函数y有最大值”，而忽略了隐含条件“函数自变量x的取值范围”，在2≤x≤4内取不到x=5的值，所以矩形PMDN的最大面积为12.5cm2是错误的。正确解法，应补充函数自变量x的取值范围，进一步求出点P与点B重合时，矩形PNCM的最大面积为12cm2。
“学而不思则罔，思而不学则殆”。通过对此题以及相同类型的问题的反思，使学生们领悟到读题一定要仔细，要注意对隐含条件的挖掘，提高思维的全面性。
3．反思思维定势，突破原有思路
学生在求出结果后，往往就以为解题结束，不再去推敲求得的结果是否与题设吻合，这是造成学生解题失误的原因之一，教师应该在解题教学中恰当地加以引导，如“已知一个等腰三角形的周长为18，它的一条边长为4 ，求另两边的长。”这时有很多学生都会想到分两种情况讨论，即当4为底边时，求得腰长为7；当4为腰长时，求得底边长为10.。此时教师应提醒学生思考“两种情况下的三角形是否都存在？”让学生在反思中汲取教训，吃一堑，长一智。
如在学习了一元二次方程和分式方程后补充了一例。
例：已知关于x的方程x/（x-2）+（2x+k）/x（x-2）=0只有一个实数根，求k的值和这个实数根.
错解：把原方程化为x2+2x+k=0 ①，因为方程只有一个实数根，所以Δ=0，由Δ=22-4k=0，得：k=1，把k=1代入方程①得：x2+2x+1=0，解得：x=-1，经检验：k=1，x=-1为所求。
通过学生对原方程只有一个实数根的理解的反思，发现上解中去分母后的一元二次方程有一个实数根，只考虑了有两个实数根的情况而忽略了另一种情况：化简后的一元二次方程有两个不同的实数根时，只要其中一个根是原方程的增根，那么对原方程来说，仍只有一个实数根所满足它。因此，正确的解法应进一步补充：当有一增根x=2时，由方程①得：k=-8，此时由x2+2x-8=0可解得另一根x=-4；当有一增根x=0时，由方程①得：k=0，此时由x2+2x=0可解得另一根x=-2。
通过此例的反思训练，使学生在纠正错误的过程中巩固了基础知识，理解基本概念的本质，从而明确心理定势会阻碍思维的发展，知道解题时要多层面、多角度地去观察、尝试数学问题，灵活运用已有的数学方法。
（二）反思思维的迁移、拓展
1．反思一题多解
一道题做完后，再引导学生反思能否从另外的角度或途径去分析、思考，从而寻找多种方法求解，寻找最佳解题方案，通过这样的反思不但使学生对问题有更深层次的理解，而且开阔了学生的视野，使学生的思维朝着灵活、精细和新颖的方向发展。
例如：二次函数的图像经过点（-1，0），（3，0），（1，5）三点，求二次函数的解析式。
解法一、设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(一般式)，因为图像经过已知的三点，所以得到（有a、b、c三个未知数的三元一次方程组），解出a、b、c的值，然后写出函数解析式。
完成后，让学生反思其他的解法，学生通过观察、分析、讨论发现（-1，0），（3，0）这两点都在x轴上，即二次函数的图像与x轴有两个交点，所以可以设解析式为y=a（x+1），（x-3）（交点式），因为图像经过（1，5），所以可以求出a的值。
学生还会发现（-1，0），（3，0）是该抛物线与x轴的两个交点，所以它们一定是一对对称点，从而可以利用对称轴与对称点横坐标之间的关系，得对称轴为x=1/2(-1+3)=1,即直线x=1.而第三点（1，5）又在对称轴直线x=1上，所以（1，5）是此抛物线的顶点，于是可以设解析式为y=a(x-1) 2+5，再将（3，0）代人，求得a的值。最后让学生比较这三种方法哪种最优，以达到最优化的学习目的。
2．反思一题多变
通过反思题目特征，将题目逐步引申、变式、推广，不仅能巩固所学知识，而且能培养和发展学生思维的广阔性和创造性.可培养学生广泛联想的思维品质，训练学生发散思维的能力和应变能力。
例：已知：如图6，点C为线段AB上的一点，ΔACM、ΔCBN是等边三角形，求证：AN=BM。
在直接证明原问题后，可改变题目的条件，使图形发生变化，在运动变化中观察相关图形的变化，发现隐含其中的不变量，从中发现规律。
变式一：如图7，上题中当条件不变时，ΔACM、ΔCBM在AB异侧时，结论还成立吗？请说明理由。
变式二：如图8，上题中，当条件不变时，点C在AB外时，结论还成立吗？请说明理由。
变式三：当原条件不变，设AN与MC相交于P点，NC与MB交于Q点，连结PQ，试判断并证明：（1）ΔPQC是什么三角形？ （2）PQ与AB有什么关系？请说明理由。
变式四：如图9，若在线段AB上取一点C，在AB的同侧作正方形ACDG和正方形BCEF，AE=BD吗？AE⊥BD吗？请说明理由。
这一组变式题，证明过程都不复杂，但通过对原题适当的变形、适度的引申、有利于引导学生深入挖掘、大胆猜想、积极探求、拓广引申，有利于激发和培养学生的探索精神.
3．反思多题一解
解完一个题目之后，再进行反思，反思以前是否有过与此题解法相同，但类型不同的题目，对培养学生举一反三、触类旁通的能力起着很大的作用。
比如，在复习二次函数与一元二次方程之间的关系时，可以设置以下的题组：
例题： k为何值时，方程-2x2+(4k+1)x-2k2+1=0没有实数根？
因为当根的判别式小于零时，一元二次方程没有实数根，所以令Δ＜0，
即Δ=(4k+1) 2-4×（-2）×（-2k2+1）＜0,得到k＜
解完此题之后，可以引导学生反思，回想自己所解过的题目中与此题解法相同，但不是一元二次方程的题目有吗？请举例。如果学生想不起来，那么老师可以向学生展示如下几个例子：
（1）k取何值时，二次三项式-2x2+(4k+1)x-2k2+1的值总是负数？
（2）k取何值时，不等式-2x2+(4k+1)x-2k2+1＜0恒成立？
（3）k取何值时，二次函数y=-2x2+(4k+1)x-2k2+1的图像始终在x轴的下方？
（4）k取何值时，二次函数y=-2x2+(4k+1)x-2k2+1的图像与x轴没有交点？
三、培养学生反思的习惯
当代科学家波普尔说：“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素”。因此，反思错误，弄清哪些地方易犯错误，回忆自己解决问题的结果和过程，找出错误的根源，分析出错原因，提出改进措施，明确正确的解题思路和方法，这是培养学生批判性思维的重要途径。
学生在解题中出现的错误有知识缺陷造成的；有能力缺陷造成的；更有非智力因素造成的，因此在解完一个题目后就有必要对解题的正误作进一步的思考，并及时总结。纠错反思可改善学生思维能力和习惯，提高学生的学习能力和解题能力。
让学生做错题集是一种很好的纠错途径。编错题集是许多学习成功者普遍使用的一种高效学习的方法。做好了错题集，仅是迈向成功的第一步。还须学生在以后的学习过程中不断完善，有了新的体会、新的发现应及时补充。
综上所述，我们的学生要挖掘学习数学的潜力，做好并用好错题集确为一个有效的途径。但是，在此过程中一定要注意引导学生自主培养分析问题、解决问题的能力，克服一些不良的习惯，树立一种正确的心理状态。最终使学生意识到：做好、用好错题集是自己学习的迫切需要，是进行反思学习的开始。
实践证明，在数学教学中，经常引导学生积极地反思自己的学习活动，能优化认知结构，提高学习效率，激发学生的创新意识，使之成为创新型人才。
参考文献
1、史宁中，《义务教育数学课程标准（2011年版）解读》，北京，北京师范大学出版社， 2012(5)
2、赵国忠，《中国教学的奇迹》，南京，南京大学出版社，2013(12)