曾大洪
广东省佛山市第二中学 广东 佛山 528000
摘要：解析几何在高中数学学习中一直都是很重要的一个知识板块，《高中数学课程标准》提出了数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象、数据分析和数学建模六大核心素养。解析几何以常见的直线、圆、圆锥曲线与方程等内容为载体，重在将代数思维与几何思维有机融合，有利于培养学生的直观想象、逻辑推理、数学抽象和数学运算以及数学建模核心素养。
关键词：核心素养；提升教学
2021年八省联考数学试卷整体难度值与高考难度值相差不大，但本次考试的题目比较新颖有特点。其中考查解析几何问题的四道题很好地体现了“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”的命题理念。
一、考题再现
2021年八省联考数学试卷中解析几何题，共有四道，两个选择一个填空和一道解答题。
试题一T4．椭圆的焦点为，，上顶点为，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
试题二T7．已知拋物线上三点，，， 直线，是圆
的两条切线，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
试题三 T14．（如图1）若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______；_____。
试题四 T21．（12分）双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在上．当时，. 图1
（1）求的离心率；
（2）若在第一象限，证明：。
二、试题评析
试题一主要考查椭圆的标准方程及三个基本量，，之间的相互关系，同时考查数形结合思想、分类讨论思想以及解方程、数学运算能力，难度较小。试题二主要考查直线与圆、抛物线三者之间的位置关系，同时考查函数与方程思想，数学建模以及较强的数学运算能力，有一定的难度。试题三主要考查数学结合思想和数学建模的能力，涉及斜率和三角基本知识的运用等，中等难度。
试题四主要考查双曲线的标准方程及基本量，，，之间的相互关系，第一问注意到双曲线的半焦距为，，，，列方程就可以求出离心率，难度较小。第二问是要证明，结论对角度问题进行斜率的等价转化数学建模要求较高，加之学生对证明题的把握本身就很弱，解题要充分利用点坐标之间的关系，将几何问题代数化，要具备较强的逻辑推理和数学运算能力。
三、试题解答
试题一T4．【解答】
由，得，而，
∴，解得. 故选 C。
试题二T7．【解答】 在抛物线上，故，即，抛物线方程为，设过点与圆相切的直线的方程为：
，即，则圆心到切线的距离
，解得，
如图2，直线，直线．
联立 ，得，
故，由得，故，
联立 ，得， 图2
故，由得，故，
故，又由在抛物线上可知，
直线的斜率为 ，
故直线的方程为，即．故选 B。
试题三 T14．【解答】正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图3直角坐标系，设对角线OB所在直线的倾斜角为，则，
由正方形性质可知，直线的倾斜角为，
直线的倾斜角为，
故，
． 图3
试题四 T21．【解答】：(1)设双曲线的半焦距为，则，，
∵，故，故，即，∴．
(2)证明：设，其中．
∵，故，，
故渐近线方程为：，所以，，
又，，
所以
， 而，故。
四、归纳提升
观察四道考题给出的以上解法，涉及的考点涵盖了高中教材解析几何中从直线、圆到圆锥曲线的绝大部分考点，条件与结论的联系容易理解，考题入口宽，综合性强。在解答过程中蕴含着数形结合思想、函数与方程思想与转化化归思想，如试题三、试题四就是角度与斜率之间的转化与化归，题目不可多得，四道试题都要通过将几何问题代数化，强化数学学科核心素养的全面提升，其中对逻辑推理和数学运算两大核心素养的要求更高。
试题二的以上解答中，通过观察B、C两点位置，可以优化解题过程。注意由方程组
解得B点坐标，，根据B、C两点的关系，可以直接写出C点坐标，，避免了重复解方程组，简化运算。试题三求正方形两条邻边所在直线的斜率，是对数学建模能力的考查，根据对角线所在直线的倾斜角，在正方形中，提出直线所在直线的倾斜角，直线所在直线的倾斜角，再由三角相关知识求出结果，数学建模是短板，直观想象非常重要。
对试题四中的第二问要证明，绝大多数的学生入手容易，思路清晰，但运算过程较为繁琐，运算结果的正确性很难保证。其实可结合题目条件，充分利用点的坐标，通过数形结合揭示基本量，，，之间的关系，优化其解答过程。解答2如下：由，得，。所以，。又，故为等腰直角三角形。
所以，. 即得，这样就省去了大量繁杂运算和消参过程。
五、教学思考
解析几何是形数结合的学科，“通过几何建立直观，通过代数予以表达”是其基本理念，以坐标法为核心，以代数方法研究几何问题。因为研究对象是几何图形，所以把握所研究对象的几何特征、直观想象几何问题的实质是首要的，然后才能用代数方法来研究。若只把注意力集中在代数角度研究，没有直观形象的支撑，就不能把握准确的几何性质，所以教学中要加强代数关系几何意义的逻辑思维训练。
注意用好教材中的例题和习题，当前各种教辅资料都充斥着很多的解析几何题，多动点轨迹问题，圆锥曲线中的参数问题，定值定点对称性存在性等等问题，这些问题的解答往往都需要特定的技巧，需要投入大量时间和精力，对理解圆锥曲线的定义与性质却作用不大。而教材中的例题和习题能帮助学生深入理解圆锥曲线的几何特征，熟练运用坐标法研究圆锥曲线的性质以及它们的位置关系，并能解决一定的综合性问题，通过解题去感悟几何中蕴含的数学思想方法，教学中应注意到这些例题和习题的教学功能。
高考试题强化对基本概念、原理、思想方法的考查，要求学生打好基础，掌握通性通法，突出知识体系的完整性和知识间的联系，课堂教学要制定清晰的教学目标，做好教学设计。要把提升学生综合能力渗透到每节课甚至每道题中，要引导学生推理“为什么要这样算，是否有更好的算法”，精心选编的任何一道题都要充分挖掘其中蕴含的运算方法或是在数学思想方法更高的理解层面上的合理简洁的解题方法，不断夯实基础，将其内化为学科素养，最终能够落实综合能力的提升。
参考文献：
[1]教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018
[2]牛松，李孝诚.直观入手巧构图 优化运算提素养.中学数学教学，合肥师范学院.2021（1）32-33
[3]章建跃，第三章圆锥曲线的方程教材介绍与教学建议.中学数学教学参考.陕西师范大学出版总社.2021（1）上旬8-12