李新丽
山东日照市莒县第三初级中学
所谓“中点四边形”，是指顺次连接四边形四边的中点所构成的四边形。在利用平行四边形的知识完成对三角形中位线这一知识点的学习之后，紧接着我们继续学习四边形的有关知识，而“中点四边形”是四边形学习的重点和难点。
一、例题解析
例1:在人教版教材《数学》八年级下册第十八章中有这样一道目:我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形。（1）任意四边形的中点四边形是什么形状?为什么？请证明你的结论，并与同伴进行交流。
在做这道题时，因为没有给出图形，我就学让生依据已知条件画出图形，再写出已知，求证。然后量一量、猜一猜，并证一证。
如图，在四边形ABCD中，点E是边AB的中点，点F、G、H分别是边BC、边CD、边AD的中点。顺次连接点E、F、G、H，新构造成了四边形EFGH，四边形EFGH就是一个中点四边形。
思路点拨:为了说明题目的一般性，在画图形的时候我让孩子们不要把四边形画特殊了。该题目是探索四边形EFGH的形状，我们可从四边形EFGH的四条边的数量关系和位置关系入手。由题设知点E，F分别为AB，BC的中点，符合三角形中位线定理的条件，可构造三角形的中位线，故连接AC，则EF是△BAC的中位线，同理GH是△DAC的中位线。
解:如图，四边形EFGH是平行四边形。证明如下：
连接AC，点E，F分别是边AB，BC的中点，所以EF∥AC，EF=AC,同理GH∥AC，GH=AC,所以EF∥GH，EF=GH。四边形EFGH是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)。
评注:该题也可连接BD，通过证EF∥GH，FG∥EH，或证EF=GH，FG=EH，均可获得结论.
这是对平行四边形的定义和判定定理的考查。解该题的思路是构造三角形及其中位线，这是数学中常用的“建模”思想，把四边形两边的中点转化为三角形两边的中点，又体现出转化
思想。从该题的推理过程我们发现:中点四边形EFGH的形状是由原四边形ABCD的两条对角
线AC和BD的数量关系和位置关系来确定的，不论原四边形的形状怎样改变，中点四边形的
形状始终是平行四边形。
二、继续探究
上题中的“任意四边形”改为特殊的四边形、它的中点四边形是什么形状呢?
例2研究特殊四边形的中点四边形的形状。使四边形ABCD分别为平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形，研究中点四边形EFGH形状。
①顺次连接平行四边形各边中点所得到的四边形是什么四边形?
思路点拨：根据三角形的中位线的性质定理可知:EH∥FG，EH=FG，所以，平行四边形ABCD的中点四边形EFGH还是平行四边形。证明方法和例1类似。
②顺次连接菱形矩形各边中点所得到的四边形是什么四边形?顺次连接矩形各边中点所得到的四边形又是什么四边形呢?
思路点拨:以菱形的中点四边形为例，由于菱形的两条对角线互相垂直，因此其中点四边形除具有对边平行且相等的性质外，还可推出邻边互相垂直，故菱形的中点四边形是矩形。因为矩形的两条对角线相等，所以可推出矩形的中点四边形是菱形。证明方法和例1类似。
③顺次连接正方形各边中点所得到的四边形是什么四边形？
思路点拨:正方形的对角线既相等又互相垂直，所以，正方形的中点四边形是正方形，证明方法和例1类似。
④把任意四边形改为“一般梯形、直角梯形、等腰梯形”，它的中点四边形又是什么四边形呢?
通过观察和探究，我们会发现它们的中点四边形是平行四边形，当它是等腰梯形时，它的中点四边形又是特殊的平行四边形一一菱形。
三、问题讨论
反之若中点四边形EFGH分別为矩形、菱形和正方形，则四边形ABCD是否一定分别为菱形、矩形(等腰梯形)、正方形?观察下面图形。
问题:决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是四边形ABCD的边?角?对角线?
结合刚才的证明过程，讨论并思考:
(1)中点四边形的形状与原四边形的什么元素有密切关系?
(2)要使中点四边形是菱形，原四边形一定要是矩形吗?
(3)要使中点四边形是矩形，原四边形一定要是菱形吗?
通过画一画、推一推、量一量、猜一猜和证一证，学生可以得出以下结论:
(1)中点四边形的形状与原四边形的对角线有密切关系
(2)只要原四边形的两条对角线相等，就能使中点四边形是菱形;
(3)只要原四边形的两条对角线互相垂直，就能使中点四边形是矩形;
(4)只要原四边形的两条对角线既相等又互相垂直，就能使中点四边形是正方形:
(5)如果原四边形的两条对角线既不相等又不互相垂直，那么它的中点四边形是平行
通过探索和研究，我认为判定中点四边形的形状要抓住两个关键点:一是三角形中位线定理的应用，二是原四边形两条对角线的数量关系和位置关系。为了便于学生更好地理解和掌握，我把常见的中点四边形形状归纳出来。通过对中点四边形规律的探索，让学生对这个问题会有了更深入的理解。
四、知识拓展
打破常规思维，我们还可以提出新的课题。连接任意四边形四边上非中点的四个点，能构成平行四边形吗?这里我们对这个问题进行探索。
如图任意四边形ABCD，AC、BD是对角线，E为AB上任意一点，
过点E作EF∥BD交AD于F点，过点F作FG∥AC交于G点，过点G作GH∥BD交BC于H点，连接EH，这样的四边形EFGH可以叫做“类中点四边形”。这样的四边形还会是平行四边形吗？回答是肯定的，以下是对这个结论的证明。
由EF∥BD得,由FG∥AC得,再由GH∥BD得，所以，所以,又因为∠EBH=∠ABC，所以△EBH～△ABC，所以∠BEH=∠BAC,所以EH∥AC
最终由两组对边分别平行判定四边形EFGH是平行四边形。
由于我们所找的四边形是任意四边形、点E的选取也是任意的，所以我们可以得到一个一般性的结论:“类中点四边形”都是平行四边形，在任意四边形中可以找到无数个这样的“类中点四边形”。
受到“中点四边形”可以是矩形等其它特殊四边形的启示，那么”类中点四边形”一样可以是矩形、菱形、正方形。探究思路和以上是一样的，在这儿就不一一赘述了。